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相关试卷

1、每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．

(1)、若 $q = \frac{5}{6}$ ，求乙恰好有一轮胜出的概率；

(2)、若甲，乙各有一轮胜出的概率为 $\frac{9}{50}$ ，甲，乙两轮都胜出的概率为 $\frac{6}{25}$ ．
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos^{2} C + \sin^{2} B = 2 - \cos^{2} A - \sin A \sin C$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $∠ A B C$ 的角平分线交AC于点D， $a = 3$ ， $c = 4$ ，求BD；

(3)、若 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $2 c - a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = \log_{3} x + b \log_{x} 9 + 2$ ， $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ．

(1)、若 $b = - 1$ ，求方程 $f (x) = 1$ 的解；

(2)、 $\exists θ \in [- \frac{2π}{3}, \frac{2π}{3}]$ ，不等式 $f (x) \geq 3 \sin θ + 8$ 对于 $\forall x \in [3, 27]$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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4、某校高一（三）班数学研究小组随机抽取100名同学，获得了他们一周课外锻炼时长（单位：小时）的数据，并整理得到相应的频数分布表和频率分布直方图，如表（一），图（一）所示
组号
分组
频数

1
$[0, 2)$
5
2
$[2, 4)$
7
3
$[4, 6)$
13
4
$[6, 8)$
18
5
$[8, 10)$
27
6
$[10, 12)$
a
7
$[12, 14)$
9
8
$[14, 16)$
4
9
$[16, 18)$
4
合计
100
表（一）
结合以上信息，回答下列问题：

(1)、求a，b的值；

(2)、假设同一组中的每个数据可用该组对应区间的中点值代替，试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数；

(3)、试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数．（保留三位有效数字）

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5、已知正四面体 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $V_{P - A B C} = \frac{1}{3}$ ， Q为BC的中点，则过点 $Q$ 的平面截球 $O$ 所得截面圆的面积的取值范围是．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - 2^{x}, x \leq 1, \\ x^{2} - 4 x + 5, x > 1, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (f (x)) = a$ 有4个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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7、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{20}$ 的方差为3，则数据 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， …， $3 x_{20} - 2$ 的标准差为．

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8、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos (\cos x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $[π, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、 $\exists x \in R$ ， $f (x) \geq 1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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9、已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $a / / α$ ，则 $a / / β$ B、若 $a ⊥ β$ ， $b ⊥ γ$ ， $β // γ$ ，则 $a / / b$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $a ⊥ α$ ， $b \subset β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立．设 $a = 16 f ({0.25}^{2})$ ， $b = f (1)$ ， $c = \log_{\frac{1}{4}} 3 \cdot f (\log_{\frac{1}{3}} 4)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3$ B、 $2 \sqrt{3} + 4$ C、 $3 \sqrt{2} + 3$ D、 $3 \sqrt{2} + 4$

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12、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列能成为“ $\frac{11 a + 13 b}{2 a^{2} + 6 a b + 4 b^{2}}$ 的最小值为16”的充要条件是（）

A、 $3 a + 5 b = 1$ B、 $3 a + 5 b = 2$ C、 $3 a + 5 b = 3$ D、 $3 a + 5 b = \frac{1}{2}$

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13、已知集合 $A = \{x | \frac{x + 1}{4 - x} \geq 0\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} + {(a - 1)}^{2} x - 2 a (a^{2} + 1) < 0\}$ ．若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 ${1} \cup (- \infty, - \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{a}$

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15、数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（）

A、67 B、42 C、62 D、78

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16、某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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17、已知复数 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $| i z - 2 \bar{z} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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18、设 $a = 3^{0.1}, b = {log}_{0.5} 1.5, c = {log}_{3} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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19、已知 $\tan α \tan β = 2$ ， $\cos (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + β) =$ ．

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20、直线 $3 x + 2 y = 6$ 经过椭圆 $m^{2} x^{2} + n^{2} y^{2} = 1$ 的两个顶点，则该椭圆的离心率为．

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组号	分组	频数
1	$[0, 2)$	5
2	$[2, 4)$	7
3	$[4, 6)$	13
4	$[6, 8)$	18
5	$[8, 10)$	27
6	$[10, 12)$	a
7	$[12, 14)$	9
8	$[14, 16)$	4
9	$[16, 18)$	4
合计		100