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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ． ① $\{a_{n}\}$ ， $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 都是等差数列；② $\sqrt{S_{n}}$ 是等差数列， $S_{3} = 9$ ；③ $\{a_{n}\}$ 是正项数列， $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并解不等式 $T_{n} > \frac{1011}{2023}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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2、在二项式 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{8}$ 的展开式中，求：

(1)、展开式的第四项；

(2)、展开式的常数项；

(3)、展开式的各项系数的和．

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - 3$

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最值；

(2)、在所给的坐标系中画出函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的图象；

(3)、若直线 $y = 6 x + b$ 是函数 $f (x)$ 的一条切线，求 $b$ 的值.

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4、第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
男学生
女学生
合计
关注度极高
45
40
85
关注度一般
5
10
15
合计
50
50
100

(1)、若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；

(2)、用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的期望．

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5、写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．

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6、一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点 $O (0, 0)$ 出发，沿向上或向右方向爬至点 $(m, n)$ ， $(m, n \in N^{*})$ ，记可能的爬行方法总数为 $f (m, n)$ ，则 $f (m, n) =$ .(用组合数作答)

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7、 $\sqrt{6} + 2$ 与 $\sqrt{6} - 2$ 的等比中项为．

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8、下列说法正确的是（）

A、若 ${(x - 2)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{6}| = 729$ B、若 $3^{n} + 3^{n - 1} C_{n}^{1} + 3^{n - 2} C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{18}$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 512$ C、 ${0.98}^{8}$ 精确到0.01的近似值为0.85 D、 $2^{2024}$ 除以15的余数为1

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*}) ， a_{2} = 3 ，$ 则 $a_{8} =$ （）

A、 $511$ B、 $502$ C、 $256$ D、 $255$

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10、已知函数 $f (x) = e^{- 2 x + 1} {(x - 2)}^{2} {(- x + 1)}^{3}$ ，则 $f (x)$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[\frac{3}{2}, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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11、函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - \cos x, a = f (\lg 3), b = f (\ln \frac{1}{2}), c = f (2^{\frac{1}{3}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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12、已知 $a$ 、 $b$ 满足 $0 < a < b < e$ ，则 $a^{b} + \frac{\ln a}{a}$ 与 $b^{a} + \frac{\ln b}{b}$ 的大小关系为（）

A、 $a^{b} + \frac{\ln a}{a} > b^{a} + \frac{\ln b}{b}$ B、 $a^{b} + \frac{\ln a}{a} = b^{a} + \frac{\ln b}{b}$ C、 $a^{b} + \frac{\ln a}{a} < b^{a} + \frac{\ln b}{b}$ D、不能确定

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13、等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ，若 $b_{2} + b_{3} + b_{5} + b_{6} = 88$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、110 B、132 C、154 D、176

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14、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{9} = 27$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{9} =$ （）

A、9 B、6 C、3 D、0

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15、中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛､方垛､刍甍多､刍童垛等的公式.我们把公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 称为“一阶等差数列”，若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“一阶等差数列”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“二阶等差数列”.定义：若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“ $k$ 阶等差数列”，则称原数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k + 1$ 阶等差数列”.例如：数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的后项与前项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 是公差为1的等差数列，则称数列 $1, 3, 6, 10$ 为二阶等差数列.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 4$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n \geq 2)$ ，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列；

(2)、若三阶等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前4项依次为 $1, 4, 10, 20$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $k$ 阶等差数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式为 $c_{n} = {(2 n - 1)}^{4}$ .
①求 $k$ 的值；
②求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 $F$ ，且 $p = 4 b$ .

(1)、若抛物线的方程为 $y^{2} = 8 \sqrt{3} x$ .
①求双曲线 $C$ 的方程；
②设直线 $l : x = \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $P (6, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，且直线 $A Q ⊥ y$ 轴，证明：直线 $B Q$ 恒过定点.

(2)、过 $F$ 的直线 $m$ 与抛物线 $Γ$ 交于 $M, N$ 两点，与 $C$ 的两条渐近线交于 $S, T$ 两点（均位于 $y$ 轴右侧）.若实数 $λ$ 满足 $λ (\frac{1}{|O S|} + \frac{1}{|O T|}) = |\frac{1}{|M F|} - \frac{1}{|N F|}|$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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17、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $B, D$ 为底面圆周上不同于 $A, C$ 的两点，圆锥母线长为 $\sqrt{5}, A C = 2, ∠ B A C = 30^{\circ}$ .

(1)、若 $A D = 1$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明： $A D$ ∥ $l$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} sin C, - cos A)$ ， $\vec{n} = (a, c)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $b^{2} + c^{2} = 2 \sqrt{3} b c$ ，求 $a$ .

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20、祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，若直线 $y = 0$ 与 $y = 2$ 在第一象限内与双曲线 $C$ 及其渐近线围成图形 $O A B N$ （如图1），则它绕 $y$ 轴旋转一周所得几何体 $Ω$ 的体积为；由双曲线 $C$ 和两直线 $y = \pm 2$ 围成的封闭图形绕 $y$ 轴旋转一周后得到几何体 $Γ$ （如图2），则 $Γ$ 的体积为.

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	男学生	女学生	合计
关注度极高	45	40	85
关注度一般	5	10	15
合计	50	50	100