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相关试卷

1、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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3、如图，圆E的圆心为 $E (- \sqrt{3} ， 0)$ ，半径为4， $F (\sqrt{3} ， 0)$ 是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 $C .$

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线 $x = 4$ 于点T，连结AT交曲线C于点 $Q .$ 直线AP、AQ的斜率分别为 $k_{A P}$ 、 $k_{A Q} .$
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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4、极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ （不是坐标原点）对应的极线为 $l_{P} : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，左焦点与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点重合，对于椭圆 $E$ ，极点 $P (- 6, 0)$ 对应的极线为 $l_{P}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在极线 $l_{P}$ 上任取一点 $Q$ ，设直线 $M Q$ ， $N Q$ ， $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 均存在）.

(1)、求极线 $l_{P}$ 的方程；

(2)、求证： $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ；

(3)、已知过点 $Q$ 且斜率为2的直线与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $C$ ， $D$ ，证明直线 $C D$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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5、已知直线 $l_{1}$ ： $y = a x + 2$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = (a^{2} - 2) x - 2 a$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ .

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6、自然数 $2^{2023}$ 的位数为（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、607 B、608 C、609 D、610

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7、设 $p : 0 < a < 1; q :$ 关于x的方程 $\sqrt{3} sin x + cos x = a$ 有实数解，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、一个扇形的弧长与面积的数值都是 $π$ ，则这个扇形的中心角大小为（）

A、 $1$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $2$ D、 $π$

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9、已知函数 $f (x) = (2^{x} - 2 \tan θ) (2^{x} - \tan θ)$ ，其中 $x \in R, θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最值及取最值时 $x$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{3}{4}$ ，求 $θ$ ．

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调减区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象. 若对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [\frac{π}{6}, π]$ ， $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \leq a$ ，求实数 $a$ 的最小值.

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11、已知全集 $U = R$ ，集 $A = \{y ∣ y = sin x + m\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 4 x \leq 0\}$ .

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cup B \neq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = 4 - m \sin x - 3 \cos^{2} x$ ， $m \in R$ ，若关于x的方程 $f (x) = 0$ 在区间 $(0, π)$ 上有三个不同解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则m的值为， $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的值为．

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13、如果 $\cos (π + α) = - \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (\frac{π}{2} - α) =$ .

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14、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为 $10$ （单位： $cm$ ），它在 $t$ （单位： $s$ ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度 $h cm$ 由关系式 $h = A \sin (π t + \frac{π}{4})$ 确定，其中 $A > 0$ ， $t \geq 0$ .则下列说法正确的是（）

A、小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 $2 s$ B、小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 $20 cm$ C、小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 $\frac{1}{2} s$ D、小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为 $10$ 次，则所用时间的范围是 $[20 \frac{1}{4}, 21 \frac{1}{4})$

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15、下列各式中，计算结果为 $1$ 的是（）

A、 $\sin 75^{\circ} \cos 15^{\circ} + \cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}$ B、 $\cos^{2} {22.5}^{\circ} - \sin^{2} {22.5}^{\circ}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}{1 + \sqrt{3} \tan 15^{\circ}}$ D、 $\frac{tan {22.5}^{\circ}}{1 - {tan}^{2} {22.5}^{\circ}}$

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16、已知 $f (x) = |x|$ 是集合A到集合B的函数，如果集合 $B = \{2\}$ ，那么集合A不可能是（）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{2\}$

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17、若扇形的圆心角为 $2 rad$ ，半径为1，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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18、对于定义在区间D上的函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in D$ ，对任意的 $x \in D$ ，都有 $f (x) \geq f (x_{0})$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间D上有“下界”，把 $f (x_{0})$ 称为函数 $f (x)$ 在D上的“下界”.

(1)、分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；
$y = 1 - 2 x (x > 0)$ ； $y = x + \frac{16}{x}$ $(0 < x \leq 5)$ .

(2)、请你类比函数有“下界”的定义，写出函数 $f (x)$ 在区间D上有“上界”的定义；并判断函数 $y = |x - \frac{16}{x}| (0 < x \leq 5)$ 是否有“上界”，且说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 + a x}{x - 1}$ （a为常数）是奇函数．

(1)、求a的值与函数 $f (x)$ 的定义域．

(2)、若对任意的 $x \in [\frac{5}{3}, 3]$ 时，都有 $f (x) < 2 m - 1$ 恒成立．求实数m的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = \sin (2 π - x) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} - x) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当 $x \in [0, \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值和最大值.

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