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相关试卷

1、已知 $sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 有（）

A、最小值3 B、最小值6 C、最大值6 D、最大值3

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ 且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的最大值.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ .

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、已知 $|\vec{c}| = \sqrt{10}$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{c}) ⊥ \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{c}$ 的夹角.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体.

(1)、求这个旋转体的体积；

(2)、求这个旋转体的表面积.

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6、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (2 m^{2} - 3 m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ .

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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7、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， M为BC的中点， $∠ M A C = 60 °$ ，则 $A M =$ .

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $t \in R$ ，则（）

A、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{9}{2}$ C、 $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 取得最小值时， $\vec{a} ⊥ (t \vec{a} + \vec{b})$

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10、下列有关复数的说法中（其中 $i$ 为虚数单位），正确的是（）

A、 $2 + i > 1 + i$ B、复数 $z = 3 - 2 i$ 的虚部为 $2 i$ C、复数z为实数的充要条件是 $z = \bar{z}$ D、已知复数z满足 $|z| = 2$ ，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆

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11、下列命题正确的是（）

A、梯形可确定一个平面 B、圆心和圆上两点可确定一个平面 C、若直线l与平面 $α$ 平行，则l与平面 $α$ 内的任意一条直线都没有公共点 D、若直线l与平面 $α$ 平行，则l与平面 $α$ 内的任意一条直线都平行

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12、中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为 $a, b, c$ 的三角形，其面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$ 求得，其中 $p = \frac{1}{2} （ a + b + c)$ ，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足 $a + b = 14, c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、6 B、6 $\sqrt{10}$ C、12 D、12 $\sqrt{10}$

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13、中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 $M N$ ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $35 m$ ，在地面上点 $C$ 处（ $B, C, N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，鹳雀楼顶部 $M$ 的仰角分别为 $30^{°}$ 和 $45^{°}$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15^{°}$ ，则鹳雀楼的高度约为（）

A、 $64 m$ B、 $70 m$ C、 $52 m$ D、 $91 m$

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14、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{C D} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，若A，B，D三点共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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15、已知圆台的体积为 $152 π$ ，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（）

A、6 B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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16、已知平行四边形 $A B C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点（如图所示），设 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⃑}{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

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17、已知 $z = - 1 - i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的正整数 $n$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $|a_{n + 1}| = |a_{n} + k|$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”.设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“2阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 2$ ，证明： $S_{n} \leq n^{2} + n$ ，且等号在 $a_{n} = 2 n (n \geq 1)$ 时取到.

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“16阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 8, S_{2024} = - 16192$ ，求 $a_{2024}$ 的所有可能取值.

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”，且满足 $a_{1} = \sqrt{2 k}$ .证明：对于任意的 $n > 1$ ，均有 $a_{n} > \sqrt{2 n k}$ .

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，且过点 $(2, - 3), F$ 为其右焦点．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ 经过点 $A (5, 0)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点（ $C$ 点在 $A, D$ 两点之间），若 $\vec{A C} = λ \vec{A D}, λ \in R$ ，求 $λ$ 的值．

(3)、已知点 $T (- 1, 0)$ ，过点 $F$ 作直线 $m$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点，记直线 $T M, T N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = ln x - x + a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + x \leq (x - 1) e^{x - a} + 1$ ．

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