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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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2、甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 $p$ ，随机变量 $X$ 表示最终的比赛局数．

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列和期望 $E (X)$ ；

(2)、若 $0 < p < \frac{1}{3}$ ，设随机变量 $X$ 的方差为 $D (X)$ ，求证： $D (X) < \frac{20}{81}$ ．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 2$ .

(1)、若 $S_{10} = 100$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、从集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\}$ 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率 $P (A)$ .

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4、设 $ξ$ 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， $ξ = 0$ ；当两条棱平行时， $ξ$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $ξ$ 为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量 $ξ$ 的所有可能取值有， $ξ$ 的数学期望为．

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5、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{b}{x}$ ，若 $f^{'} (1) = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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6、 $\frac{1}{x} {(1 - 3 x)}^{4}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，公差为 $d$ ， $f (x) = |x - a_{1}| + |x - a_{2}|$ ，则下列命题错误的是（）

A、函数 $y = f (x) (x \in R)$ 可能是奇函数 B、若函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，则 $d = 0$ C、若 $d = 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数 D、若 $d \neq 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 的图象是轴对称图形

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8、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ （ $a c < 0$ ），则函数 $y = f (x)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、事件 $A$ 与 $B$ 互斥，若 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.6$ ，则（）

A、 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 1$ B、 $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = 0.56$ C、 $P (\bar{A}) P (B ∣ \bar{A}) = 0.6$ D、 $P (\bar{A} ∣ \bar{B}) = 0.8$

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ， $x \in R$ ，且 $y = f^{'} (x)$ 在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）
①“ $x_{1} > x_{2}$ ”是“ $f (x_{1} + 1) + f (x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2} + 1)$ ”的充要条件；
②“对任意 $x < 0$ 都有 $f (x) < f (0)$ ”是“ $y = f (x)$ 在R上为严格增函数”的充要条件．

A、①真命题；②假命题 B、①假命题；②真命题 C、①真命题；②真命题 D、①假命题；②假命题

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11、根据贝叶斯统计理论，事件 $A$ ， $B$ ， $\bar{A}$ （ $A$ 的对立事件）存在如下关系： $P (B) = P (A) \cdot P (B | A) + P (\bar{A}) \cdot P (B | \bar{A})$ ．若某地区一种疾病的患病率是 $0.02$ ，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为 $99 %$ ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 $99 %$ 的可能呈现阳性，该试剂的误报率为 $5 %$ ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 $5 %$ 的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）

A、0.0688 B、0.0198 C、0.049 D、0.05

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12、现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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13、一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（ $1 \leq m < n \leq 5$ ， $p \geq 4$ ），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设 $ξ_{1}$ 表示取出的红球个数， $ξ_{2}$ 表示取出的白球个数，则

A、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$

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14、已知二项展开式 ${(\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} - x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1}$ ， $a_{6}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - 33 x + 32$ 的两个零点，则 $a_{3} a_{4} =$ （）

A、10 B、12 C、32 D、33

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17、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = (1, - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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18、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b$ $(a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ ..........依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共 $7$ 层，小球总个数为 $168$ ，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |x + \frac{1}{x} + 2|, x < 0 \\ |5^{x} - 2|, x \geq 0 \end{cases}$ ，若存在实数 $t$ ，使得方程 $f (x) = t$ 有 $4$ 个不同的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{5^{2 x_{4} - x_{3}}}$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - \frac{4}{3}]$ B、 $(- \frac{4}{3}, - 1]$ C、 $(- 1, - \frac{1}{3}]$ D、 $(- \frac{1}{3}, 0)$

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20、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 是空间中距离为1的两平行平面， $A B \subset α$ ， $C D \subset β$ ，且 $A B = C D = 2$ ， $A B$ 和 $C D$ 的夹角为 $60 °$ .
（1）证明：四面体 $A B C D$ 的体积为定值；
（2）已知 $P \in β$ ，且 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在半径为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的球面上.当 $P A$ ， $P B$ 与平面 $α$ 的夹角均为 $θ$ 时，求 $\cos θ$ .

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