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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90^{°}$ ， $P A = A B = A D = 2 D C = 2$ ， M是 $P B$ 的中点，N是 $P C$ 上的一点．

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求点M到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、若异面直线 $A N$ 和 $D C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求二面角 $N - M A - D$ 的正弦值．

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2、交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站．

(1)、为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车 $P$ 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
车站编号
满意
不满意
合计
10
35

50
11

30

合计
55

完善表格数据并计算分析：依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？

(2)、根据以往调图经验，列车 $P$ 在编号为8至14的终到站每次调图时有 $\frac{1}{4}$ 的概率改为当前终到站的西侧一站，有 $\frac{3}{4}$ 的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车 $P$ 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值．
附 $: χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b \cos A - \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin B = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $c = 6$ ，设 $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，求 $A D$ 的长.

(3)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、已知函数 $f (x) = x e^{2 x + a} - b {(2 x + 1)}^{2} + 1$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a - 4 b + 1$ 的最大值为．

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5、将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有．（用数字作答）

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $M$ 是 $P A$ 的中点，点 $N$ 满足 $\vec{P N} = λ \vec{P C}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、 $B M$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、不存在点 $N$ 使得 $D N ⊥ B N$ C、若四棱锥 $P - A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 $\frac{28}{3} π$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，过点 $M, N, B$ 的平面与线段 $P D$ 交于点 $Q$ ，则 $\frac{P Q}{P D} = \frac{1}{3}$

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7、下列四个结论，其中正确的为（）

A、动点P到点 $M (1, 0)$ ， $N (- 1, 0)$ 的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B、过点 $P (0, 1)$ 与抛物线 $y^{2} = x$ 有且只有一个公共点的直线有3条 C、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线 D、点 $P (1, 1)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 内

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8、下列四个命题中为真命题的是（）

A、已知 $X ~ B (40, p)$ ，且 $E (X) = 16$ ，则 $p = 0.4$ B、二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x^{2})}^{10}$ 的展开式中的常数项是45 C、若随机变量A，B满足： $P (A) > 0$ ， $P (B | A) + P (\bar{B}) = 1$ ，则A，B相互独立 D、从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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9、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{m + n} + a_{m - n} = 2 a_{m} + 2 a_{n} (m > n > 0)$ ，则 $a_{2 025}$ 的个位数字为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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10、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 12 x$ 有一个公共焦点 $F$ ，双曲线上过点 $F$ 且垂直实轴的弦长为 $3 \sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知 $∠ M C N = 60 °$ ，则山的高度MN为（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、150m C、 $150 \sqrt{2} m$ D、 $150 \sqrt{3} m$

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12、设曲线 $f (x) = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot x_{2024}$ 等于（）

A、 $\frac{2023}{2024}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $\frac{2024}{2025}$ D、 $\frac{1}{2025}$

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13、若随机变量X服从正态分布 $X \sim N (8, σ^{2})$ ， $P (X > 11) = a$ ， $P (5 \leq X \leq 11) = b$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $6 + 2 \sqrt{2}$ D、 $6 + 4 \sqrt{2}$

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14、已知集合 $M = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\}, N = {x ∣ (x - 1) (x - 5) < 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 5)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(1, 4)$

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15、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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16、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边， $\frac{\sqrt{3} c}{a cos B} = tan A + tan B, b = c + 2$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求边长 $c$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，点 $O$ 为平面 $A B C$ 内一点且满足 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，求 $|\vec{O A}|$ 的取值范围.

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17、已知一块正三棱台木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图所示，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A C = 3$ ， $A_{1} C_{1} = 2$ ．

(1)、要经过点 $O$ 将木料锯开，使截面平行于平面 $C A A_{1} C_{1}$ ，在木料表面应该怎样画线，并说明理由；

(2)、写出一种切割方式，要求过点 $O$ ，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料.

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18、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $A H = \sqrt{2}$ ，求 $A H \cdot B H + C H$ 的取值范围．

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19、如下图所示，多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 是由长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ ．

(1)、求该多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 的体积；

(2)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(3)、判断直线 $E F$ 与直线 $B_{1} C$ 的位置关系，并对你的结论加以证明．

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20、甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 $A B C D$ 处，碳原子位于正四面体的中心 $O$ 处．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则平面 $O A B$ 和平面 $O C D$ 位于正四面体内部的交线长度为

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车站编号	满意	不满意	合计
10	35		50
11		30
合计	55

$α$	0.1	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828