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相关试卷

1、已知 $T = \{(x, y) |{(y - \cos α)}^{2} = x - \sin^{2} α ， - 1 \leq y \leq 1, 0 \leq α \leq \frac{π}{2}\}$ ，图形T的面积为S，则（）

A、 $\frac{1}{2} \leq S < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} \leq S < \frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{2} \leq S < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} \leq S < \frac{9}{2}$

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2、椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共的焦点 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ， $c > 0$ ，抛物线 $C_{3}$ 的方程为 $y^{2} = 4 c x$ ， P为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 的一个公共点，若 $\tan ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{4}{3}$ ，则 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 离心率的乘积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知曲线 $C_{1}$ ： $y^{2} = \frac{x^{3}}{1 - x}$ ， $C_{2}$ ： $y^{2} = - 4 x$ ，给出下列四个结论：
①曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 且只1个公共点；
②曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 中，有且只有一个是轴对称图形；
③曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 中，有且只有一个关于原点成中心对称图形；
④设P为 $C_{1}$ 上一点（异于坐标原点O），过点P作直线 $l ⊥ O P$ ，则l与 $C_{2}$ 有且只有1个公共点．
其中所有正确结论的序号是．

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4、若直线l： $x + y + m = 0$ 与圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 交于A，B两点， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} \geq 0$ ，则实数m的取值范围是．

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5、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 3} = 1$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过原点的直线与该椭圆交于A，B两点，若 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为1，则该椭圆的焦距为， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为．

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6、若对 $\forall m \in R$ ，直线 $y = 2 x + m$ 与双曲线 $A x^{2} + B y^{2} = 1$ 最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为，离心率为．

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7、甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $p$ ，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.

(2)、若 $\frac{1}{2} \leq p \leq \frac{2}{3}$ ，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列， $a_{3}, a_{4}, a_{5} - 8$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 2$ ．

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9、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $N$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} N$ .

(2)、求平面 $B C_{1} N$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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10、我们称 $n$ （ $n$ 为正整数）元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{9} =$

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11、假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ .在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为．

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12、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\sin α =$ .

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13、已知无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2024} < S_{2025}$ 且 $S_{2025} > S_{2026}$ ，则（）

A、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}$ 最大 B、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2025}$ 最大 C、 $a_{2026} > 0$ D、当 $n \geq 2026$ 时， $a_{n} < 0$

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14、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B、如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C、如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D、如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种

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15、有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 $1$ 个红球，乙盒子里有 $3$ 个红球和 $3$ 个黑球，现从乙盒子里随机取出 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 $ξ$ 个，则随着 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 的增加，下列说法正确的是（）

A、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 增加 B、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 减小 C、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 增加 D、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 减小

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16、直线 $y = k x + 3$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交的充分不必要条件可以是（）

A、 $k^{2} > 3$ B、 $k^{2} < 3$ C、 $k > 2$ D、 $k > 1$

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17、函数 $f (x) = (x + 1) e^{2 x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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18、球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）

A、9倍 B、18倍 C、27倍 D、81倍

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19、 $A_{5}^{2} + C_{4}^{2} =$ （）

A、24 B、26 C、30 D、32

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点 $A$ 到其渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．点 $B (2, 1)$ 在 $C$ 的渐近线上，过 $B$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 分别与 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ A P Q$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $l$ 的方程；

(3)、证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

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