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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a cos C + b = 0$ ， $b = \frac{\sqrt{2}}{4} c$ ．

(1)、求 $cos C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点，且 $∠ A D B = \frac{3π}{4}$ ，求 $C D$ 的长．

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2、已知棱长为 $a$ 的正四面体 $P - A B C$ ，且 $\vec{A M} = \frac{7}{9} \vec{A B}$ ， $Q$ 为侧面 $P B C$ 内的一动点，若 $Q M = \frac{\sqrt{7}}{3} Q B$ ，则点 $Q$ 的轨迹长为．

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3、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - β) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\tan α \tan β = 3$ ，则 $\cos (α + β) =$ .

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4、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，若 $P (X \leq a) = 0.3$ ，则 $a =$ .

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5、设函数 $f (x) = \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{3}{2}$ ， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，则（）

A、 $x_{2} = \frac{13}{12}$ B、 $f (x_{n}) + f (\frac{1}{x_{n}})$ 为定值 C、数列 $\{\frac{x_{n} + 1}{x_{n} - 1}\}$ 为等比数列 D、 $x_{n} < 1 + \frac{1}{5^{n - 1}}$

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ， $M$ 是 $C$ 上位于第二象限内一点， $O$ 为坐标原点， $|O M| = 1$ . $P$ 为 $O F_{1}$ 上一点，且 $∠ F_{1} M P = ∠ P M F_{2}$ ，点 $A$ 为 $M F_{1}$ 的中点， $O A$ 与 $M P$ 交于点 $N$ ，且 $|O N| = \frac{1}{2} b$ ，则（）

A、点 $M$ 在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上 B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ C、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{5 x^{2}}{9} + \frac{5 y^{2}}{4} = 1$ D、 $|O P| = \frac{1}{3}$

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7、已知点 $P (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 18$ ，则（）

A、点 $P$ 在 $C$ 内 B、点 $P$ 与 $C$ 上的点之间的最大距离为 $6 \sqrt{2}$ C、以点 $P$ 为中点的弦所在直线的方程为 $x + y - 4 = 0$ D、过点 $P$ 的直线被 $C$ 截得弦长的最小值为 $\sqrt{10}$

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8、设 $O$ 为坐标原点， $F$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点，圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 与 $C$ 的渐近线在第一象限的交点为 $M$ ，若 $∠ F M O = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = |sin (x + \frac{π}{6})| + |sin (x - \frac{π}{3})|$ ，则 $f (x)$ 图象的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$ B、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{3}$ ， $k \in Z$ C、 $x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$ D、 $x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$

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10、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，在公共定义域内，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立 B、 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立 C、 $f (x) \cdot g (x) \geq 0$ 恒成立 D、 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$ 恒成立

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11、运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（）

A、32种 B、24种 C、18种 D、12种

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12、空气膜等厚干涉是一个有趣的光学现象，如左图所示，当一块玻璃在另一块平板玻璃上方时，让光线垂直照射就会出现明暗相间的条纹.同一条纹上两玻璃之间的空气间隙厚度一致.现有一圆锥形玻璃，底面周长为24 $π$ ，母线长为13.将其顶点朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面与平板玻璃的夹角 $α$ 近似满足sin $α$ = $\frac{4}{13}$ ，用光垂直照射，则得到的条纹形状为（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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13、已知集合 $A = \{(x, y) |\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} \leq 1, x \in Z, y \in Z\}$ ，则A中元素的个数为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x < 0, \\ e^{x} + ln (x + 1), x \geq 0, \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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15、在复平面内，复数 $z = \frac{5 i}{1 - 2 i}$ 对应的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, i)$ D、 $(2, - i)$

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16、已知有穷正整数数列 $A_{n} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} (n \in N^{*}, n \geq 4)$ 满足： $a_{i} \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，且当 $i \neq j (i, j \in N^{*}, 1 \leq i, j$ $\leq n)$ 时，总有 $a_{i} \neq a_{j}$ ．定义数列 $A_{n}^{*} : a_{1}^{*}, a_{2}^{*}, \dots, a_{n}^{*}$ ，其中 $a_{1}^{*} = a_{1}$ ， $a_{k}^{*} = \{\begin{array}{l} a_{k} - a_{k - 1}^{*}, a_{k - 1}^{*} < a_{k}, \\ a_{k} + a_{k - 1}^{*}, a_{k - 1}^{*} \geq a_{k}, \end{array} (k = 2, 3, \dots, n)$ ．当 $a_{n}^{*} = m$ 时，称数列 $A_{n}$ 具有性质 $P (m)$ ．

(1)、判断下列数列是否具有性质 $P (1)$ ；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．

(2)、已知数列 $A_{8}$ 具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的最小值；

(3)、是否存在数列 $A_{n}$ 具有性质 $P (\frac{n (n + 1)}{2})$ ，且 $a_{1}^{*} + a_{2}^{*} + \dots + a_{n}^{*} = 2025$ ？若存在，请找到使 $n$ 最小的一个数列 $A_{n}$ ；若不存在，请说明理由．

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17、设函数 $f (x) = \frac{\ln (x + 1)}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点个数；

(3)、若 $x > 0$ 时， $\frac{f (x)}{x} > k$ ，求 $k$ 的取值范围．

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18、已知非空数集 $I, P$ 满足：
（i） $\forall x \in I$ ，有 $x \in P$ ；
（ii） $\forall x, y \in I$ ，有 $x + y \in I$ ；
（iii） $\forall x \in I$ 且 $\forall y \in P$ ，有 $x y \in I$ ，
则称 $I$ 是 $P$ 的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若 $I = \{2 k |k \in Z\}$ ，则 $I$ 是 $Z$ 的“理想子集”；
②若 $I$ 是 $R$ 的“理想子集”，且存在非零实数 $a \in I$ ，则 $I = R$ ；
③若 $I_{1}, I_{2}$ 是 $P$ 的“理想子集”，则 $I_{1} \cup I_{2}$ 也是 $P$ 的“理想子集”；
④若 $I_{1}, I_{2}$ 是 $P$ 的“理想子集”，则 $I_{1} \cap I_{2}$ 也是 $P$ 的“理想子集”．
其中正确结论的序号是．

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19、已知正整数 $n (n \geq 2)$ ， $Ω_{n} = \{(i, j) |0 \leq i < n, 0 \leq j < n, i \in Z, j \in Z\}$ ， $Γ$ 为 $Ω_{n}$ 的k元子集 $(k \geq 2)$ ，记 $Γ^{'} = \{\vec{P Q} |P \in Γ, Q \in Γ, \vec{P Q}$ 为非零向量}，若 $Γ^{'}$ 的元素个数为 $k^{2} - k$ ，则称 $Γ$ 为 $Ω_{n}$ 的不重子集．

(1)、已知集合 $A = \{(0, 0), (1, 0), (2, 0)\}$ ， $B = \{(0, 0), (1, 0), (2, 1)\}$ ， $C = \{(0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$ ，这三个集合中，集合______是 $Ω_{3}$ 的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为 $Ω_{3}$ 的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；

(2)、若 $Γ$ 为 $Ω_{5}$ 的不重子集，且 $\forall \vec{a}, \vec{b} \in Γ^{'}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ ，求k的最大值；

(3)、若 $Γ$ 为 $Ω_{5}$ 的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的 $Γ$ 的例子．

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20、如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为 $60 °$ ，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = k (k > 0)$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = k (k > 0)$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = k (k > 0)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{5} = k (k > 0)$

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