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相关试卷

1、在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 $79$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，试求展开式中系数最大的项.

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2、已知函数 $h (x) = e^{x}$ （e是自然对数底数），函数 $y = φ (x)$ 的图象与函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．令 $f (x) + g (x) = h (x)$ ，其中 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为奇函数、偶函数．

(1)、求 $y = h (x) φ (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $g (x)$ ，并证明 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \geq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

(3)、求证： $δ (x) = φ (x) + φ (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $φ (e x_{0}) < h (x_{0} + \ln x_{0})$ ．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $P C D$ 的距离．

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4、如图，圆的内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， C为圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $C D$ 为直径，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的周长的最大值．
（参考结论：圆的内接四边形对角互补．）

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5、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b (\cos A + \sqrt{3} \sin A) = a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 5$ ， $A C$ ， $A B$ 边上的中线 $B E$ ， $C F$ 相交于点M．
（ⅰ）求 $B E$ ；
（ⅱ）求 $C M$ ．

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6、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，对任意实数x，y都有 $|\vec{a} - x \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - y \vec{c}| \geq |\vec{a} - \vec{c}|$ 成立．若 $|\vec{a}| = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的最大值是．

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7、若 $\sin α + \cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α + \frac{1}{\tan α} =$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{2}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ ， $cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$

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9、“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的表面积是 $12 + 4 \sqrt{3}$ B、直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45° C、该半正多面体有外接球，且它的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体有内切球，且它的表面积为 $4 π$

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10、图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足： $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（）（ $\sqrt[5]{10} \approx 1.585$ ）

A、 $1.0$ B、 $0.8$ C、 $0.6$ D、 $0.5$

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12、若复数z满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ （其中i为虚数单位），则z的虚部是（）

A、2i B、 $- 2 i$ C、2 D、 $- 2$

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13、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ||x - 1 | \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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14、已知如图是函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 单调递增 C、 $f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + 1$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后为偶函数

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15、对于给定的正整数 $n$ ，如果正整数 $d$ 能整除 $n$ ，则称 $d$ 是 $n$ 的因子；如果正整数 $m$ ， $n$ 共同的因子只有1，则称正整数 $m$ 和 $n$ 互素.已知函数 $f (n)$ 表示正整数 $n$ 的因子个数，数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：
①对于任意素数 $p$ 和正整数 $n$ ，都有 $a_{p^{n}} = n + 1$ ；
②对于任意的正整数 $m$ 和 $n$ ，若 $m$ 和 $n$ 互素，则 $a_{m n} = a_{m} \cdot a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 的值，并写出 $a_{n}$ 和 $f (n)$ 的关系（无需证明）；

(2)、当 $n$ 是偶数时，证明： $a_{n} \leq \frac{n}{2} + 1$ ；

(3)、设数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{5}{3}$ .

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16、已知曲线 $f (x) = (x + a) \ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = b x - 3$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、已知 $x \geq y \geq \frac{1}{2}$ ，且 $f (x) + f (y) = a \ln (x y)$ ，证明：对任意的 $m \in [1, 2]$ ， $3 \leq 2 x + m y \leq 4$ ．

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{6}, 0)$ ，且C的一条渐近线经过点 $D (\sqrt{2}, 1)$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、是否存在过点 $P (2, 1)$ 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上， $A D = 2 D A_{1}$ ， $C_{1} E = 2 E C$ ， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、当三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积最大时，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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19、如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率是 $\frac{1}{3}$ ，共移动4s，设随机变量 $X$ 为移动4s后的质点的坐标，求移动4s后质点的坐标为正数的概率.

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20、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 3) = - f (- x)$ ，且 $f (2) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上的零点个数的最小值为.

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