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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} B$ 与AC所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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2、复平面内，复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ （i为虚数单位）对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、下列命题正确的是（）

A、数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B、数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots \dots$ ， $2 x_{10} + 1$ 的标准差为2 D、若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数

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4、已知过点 $A (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $m : x + 3 y + 6 = 0$ ．

(1)、当 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $T$ 为直线 $m$ 上的动点，过 $T$ 作圆 $C$ 的两条切线 $T G$ 、 $T H$ ，切点分别为 $G$ 、 $H$ ，求四边形 $T G C H$ 面积的最小值；

(3)、是否存在直线 $l$ ，使得向量 $\vec{O P} + \vec{O Q}$ 与 $\vec{A C}$ 共线？如果存在，求出直线 $l$ 的方程；如果不存在，请说明理由．

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5、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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6、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边， $\frac{\sqrt{3} c}{a cos B} = tan A + tan B, b = c + 2$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求边长 $c$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，点 $O$ 为平面 $A B C$ 内一点且满足 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，求 $|\vec{O A}|$ 的取值范围.

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7、已知一块正三棱台木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图所示，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A C = 3$ ， $A_{1} C_{1} = 2$ ．

(1)、要经过点 $O$ 将木料锯开，使截面平行于平面 $C A A_{1} C_{1}$ ，在木料表面应该怎样画线，并说明理由；

(2)、写出一种切割方式，要求过点 $O$ ，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料.

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $A H = \sqrt{2}$ ，求 $A H \cdot B H + C H$ 的取值范围．

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9、如下图所示，多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 是由长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ ．

(1)、求该多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 的体积；

(2)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(3)、判断直线 $E F$ 与直线 $B_{1} C$ 的位置关系，并对你的结论加以证明．

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10、甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 $A B C D$ 处，碳原子位于正四面体的中心 $O$ 处．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则平面 $O A B$ 和平面 $O C D$ 位于正四面体内部的交线长度为

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11、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ， $C D = 10 m$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ m．

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12、在复数范围内，方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的解为

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + {cos}^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin 2 A > sin 2 B$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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14、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，给出的四个结论，正确的是（）

A、对于任意的点 $E$ ， $E D_{1} // B F$ B、存在点 $E$ ，使得 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $B E D_{1} F$ C、存在点 $E$ ，使直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} E$ 共面 D、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值

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15、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A、 $\frac{500 π}{3}$ cm³ B、 $\frac{866 π}{3}$ cm³ C、 $\frac{1372 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{1000 π}{3}$ cm³

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16、已知 $\vec{A C} = (- 1, 3)$ ， $\vec{A B} = (3, 1)$ ，若线段 $B C$ 的一个三等分点为 $M$ ，则 $\vec{A M}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ 或 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ 或 $(\frac{10}{3}, \frac{7}{3})$

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $\frac{11}{2}$

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18、已知 $α, β$ 为两个不同的平面， $m, n, l$ 为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α / / β$ ，且 $m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $l / / m, l / / n$ ，且 $m, n \subset α$ ，则 $l / / α$

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19、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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20、在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为 $p$ ，输的概率为 $1 - p$ ，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为 $ξ$ ，那么 $ξ$ 服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；

(2)、记“ $2 n - 1$ 局 $n$ 胜”( $n \in ℕ^{*}$ )制游戏中甲获得最终胜利的概率为 $p_{1}$ ， “ $2 n + 1$ 局 $n + 1$ 胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为 $p_{2}$ ，证明： $p_{1} - p_{2} = C_{2 n - 1}^{n} p^{n} {(1 - p)}^{n}$ ；

(3)、教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有 $n + 1$ 支，黄粉笔有 $n - 1$ 支( $n \in ℕ^{*}$ 且 $n \geq 2$ )，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为 $a_{n}$ ，证明： $a_{n} > \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2 n}}$ .

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