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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，命题 $P : {sin}^{2} A = {cos}^{2} B + {cos}^{2} C$ ，命题 $Q : |\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{B C}|$ ，则P是Q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与 $\vec{B C}$ 垂直的单位向量 $\vec{j}$ ，因为 $\vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$ ，所以 $\vec{j} \cdot (\vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{j} \cdot \vec{B A}$ ．由分配律，得 $\vec{j} \cdot \vec{B C} + \vec{j} \cdot \vec{C A}) = \vec{j} \cdot \vec{B A}$ ，即 $|\vec{j}| |\vec{B C}| cos \frac{π}{2} + |\vec{j}| |\vec{C A}| cos (\frac{π}{2} - C) = |\vec{j}| |\vec{B A}| cos (\frac{π}{2} - B)$ ，也即 $b \sin C = c \sin B$ ．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $C A = b$ ， $∠ A D E = θ$ ，则 $θ$ 与△ABC的边和角之间的等量关系为（）

A、 $a \sin (B - θ) + b \sin (A + θ) = c \sin θ$ B、 $a \sin (B + θ) + b \sin (A - θ) = c \sin θ$ C、 $a \cos (B - θ) + b \cos (A + θ) = c \cos θ$ D、 $a \cos (B + θ) + b \cos (A - θ) = c \cos θ$

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3、下列说法中正确的是（）

A、 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为4 B、 $\frac{a + b}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为2 C、 $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1}$ 的最小值为1

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小为（）.

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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5、经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（）．

A、厂商希望（1），客户希望（2） B、厂商希望（2），客户希望（1） C、厂商希望（1），客户希望（1） D、厂商希望（2），客户希望（2）

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6、若 $z = a + \frac{i}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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7、随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
5
15
35
30
10
5

(1)、假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；

(2)、由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布 $N (μ, δ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）， $δ^{2} = 180$ ，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；

(3)、考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，答对最后一题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据： $\sqrt{180} \approx 13.4$ ；若 $X ~ N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < X < μ + δ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 δ < X < μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 δ < X < μ + 3 δ) \approx 0.9973$ ．）

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4, S_{n} = a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{\frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、 $S_{n} = 2^{n}$ C、 $T_{n} \geq \frac{3}{8}$ D、 $T_{n} < \frac{1}{2}$

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9、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1 C、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切 D、 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值 $- \frac{1}{2}$

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10、下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ 是偶函数 B、存在实数 $α$ ，使 $\sin α \cos α = 1$ C、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{4})$ 图象的一条对称轴 D、若 $α$ ， $β$ 都是第一象限角，且 $α > β$ ，则 $\sin α > \sin β$

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11、已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 成立，则实数a的取值范围是

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1]$

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{8} = S_{10}$ ，则 $S_{n}$ 中最大的是（）

A、 $S_{7}$ B、 $S_{8}$ C、 $S_{9}$ D、 $S_{10}$

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13、已知点 $M (0, a)$ ， $N (3, 4)$ 到同一直线的距离分别为2和3，若这样的直线恰有2条，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 8, 0)$ C、 $(0, 8)$ D、 $(8, + \infty)$

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14、设 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z|$ =

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，它的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(c, 0) (c > 0)$ ，点 $M$ 的坐标为 $(\frac{10}{c} - c, 0)$ ，且 $\vec{O F} = 2 \vec{F M}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；

(2)、若过点 $M$ 的直线与椭圆相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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16、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $E$ 的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线 $l$ 过点 $P (3, 0)$ 且与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，侧面 $D A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A D = D C$ ， $A B = B C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $F$ 是线段 $B D$ 上一点，当 $A F ⊥ B D$ 时，求平面 $F A C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B P //$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A A_{1} = A B = A C = 2$ ，求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C_{1} M N$ 所成角的正弦值．

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19、已知直线 $l : x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若圆 $O$ 上存在一点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 为菱形，则实数 $a$ 的值是.

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20、曲线 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1 (m \neq \pm 2)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的一个取值为.

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笔试成绩X	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	5	15	35	30	10	5