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相关试卷

1、如图，圆台 $O_{1} O$ 的高为 $\sqrt{15}$ ， $Q P$ 是母线， $O_{1} Q = 3$ ， $O P = Q P$ .现在将圆台的侧面沿 $Q P$ 剪开，并展开成平面图形，点 $P$ 在侧面展开图中对应的点为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长度为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、 $16 \sqrt{2}$

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2、为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有 $4$ 架不同型号的四旋翼无人机和 $3$ 架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（）

A、 $72$ 种 B、 $144$ 种 C、 $1440$ 种 D、 $5040$ 种

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3、已知向量 $\vec{m} = (3, - 1)$ ， $\vec{n} = (1, 2)$ ， $\vec{p} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{m} + \vec{n}) // (\vec{p} - k \vec{n})$ ，则实数 $k$ 的值（）

A、 $- \frac{7}{19}$ B、 $\frac{7}{19}$ C、 $- 2$ D、2

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4、函数 $f (x) = 2^{x} - x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为（）

A、2 B、 $2 \ln 2$ C、 $2 \ln 2 - 2$ D、 $2 - 2 \ln 2$

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5、若集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\} ， B = \{x |\frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5)$ D、 $[- 2, 5)$

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6、 $\frac{1 + 2 i}{- 1 + i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、对 $\forall k \geq 3$ ，方程 $f (x) - k = 0$ 恒有两个不同的实数解 C、 $πln 2 > 2 lnπ$ D、存在 $k \in R$ ，使得直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 2$ .

(1)、求A.

(2)、已知 $a = 3$ .
（i）若 $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，求c；
（ii）若 $A B$ 边上一点P满足 $B P = A C$ ，点Q是 $A C$ 的中点，求 $P Q$ 的最小值.

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9、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3, \sqrt{3})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影的取值范围为

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10、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 $69.800$ 分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{1}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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11、如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（）

A、甲从M到达N处的方法有15种 B、甲从M必须经过 $A_{3}$ 到达N处的方法有6种 C、甲、乙两人在 $A_{3}$ 处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$ D、甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$

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12、若 $b > a > 1$ ，则（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{b} > {(\frac{1}{2})}^{a}$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 ${log}_{a} b > 1$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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13、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象是由曲线 $y = \sin x$ 上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位长度后所得，则 $f (φ) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 相切，则m的值为（）

A、21或 $- 1$ B、 $- 21$ 或1 C、5或 $- 15$ D、 $- 5$ 或15

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15、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{15}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、5

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16、已知复数 $z = 1 - \frac{1}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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17、将函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的点 $A (\frac{π}{4}, t)$ 向左平移 $s (s > 0)$ 个单位长度得到点 $B$ ，若 $B$ 在函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上，则 $s$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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18、聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)、求一个问题的应答被采纳的概率；

(2)、在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 $X$ ，事件 $X = k$ （ $k = 0, 1, \dots, 8$ ）的概率为 $P (X = k)$ ，求当 $P (X = k)$ 最大时 $k$ 的值.

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19、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左焦点 $F_{1} (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M O N > \frac{π}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围.

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20、如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B）， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B P}$ ， $\vec{C D} = λ \vec{C P} (0 < λ < 1)$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $A D / /$ 平面OCE；

(2)、若 $P A = A B = 2 B C = 4$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面PBC，求λ的值．

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