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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (1 - a) \ln x + \frac{a}{x} + x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、试比较2.8与 $e^{1.04}$ 的大小并证明.

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2、如图1所示，四边形 $B C D E$ 满足 $B C ∥ D E$ ，过点 $B$ 作 $B A ⊥ D E$ ，点 $A$ 在线段 $D E$ 上，且满足 $B C = \sqrt{3} A B = 3 A D = 3$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A B$ 翻折到 $△ P A B$ 的位置（图2）， $P B ⊥ A C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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3、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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4、2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高 $^{2} ({kg/m}^{2})$ ），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重）

(1)、求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数；

(2)、该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析超重是否与性别有关.
性别
正常
超重
合计
男

20

女
20

合计

100
附：列联表参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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5、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E，F，G分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $E F$ 上运动（不包括端点），过G，P， $D_{1}$ 的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是.

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6、若 $y = x + a$ 是曲线 $y = \sqrt{x}$ 的切线，则 $a =$ .

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7、 $9^{5}$ 除以8的余数为.

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8、定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x) f (1 - x) \leq \frac{1}{2}$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) = 1$

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9、下列命题正确的是（）

A、若事件A，B相互独立，则 $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ B、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{2}{3}$ C、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (1.5 \leq X < 2) = 0.36$ ，则 $P (X \geq 2.5) = 0.14$ D、线性相关模型中，相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关程度越强

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10、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a \geq 1, b \leq 1$ B、 $a b \leq 1$ C、 $a - b > - 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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11、某平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B D = 2$ ， $∠ A B D = ∠ A C D = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ C A D = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ .当 $△ B C D$ 的面积取得最大值时， $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{10}$ D、 $\frac{π}{12}$

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12、如图所示的九宫格中共有 $4 \times 4 = 16$ 个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（）种.

A、528 B、524 C、520 D、516

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13、已知实数 $a > 1$ ，正方形 $P Q R S$ 满足 $P Q ∥ x$ 轴，且 $P, Q, R$ 分别在 $y = {log}_{a} x$ ， $y = 2 {log}_{a} x$ ， $y = 5 {log}_{a} x$ 的图象上，若正方形 $P Q R S$ 的面积为36，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt[3]{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt[3]{2}$

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14、已知向量 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 是平面内的一组基底，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角”是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 ${sin}^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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16、如图，等腰梯形 $A B C D$ 为某圆台的轴截面，满足 $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14}{3} π$ B、 $\frac{16}{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、已知 $i$ 为虚数单位， ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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19、已知函数 $y = f (x)$ 及其导数 $y = f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + f (x) \geq 2 x$ 对一切 $x \in R$ 恒成立.

(1)、若 $m$ ， $b \in R$ ， $f (x) = m x + b$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是二次函数，求 $f (0)$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 同时满足 $f^{'} (x) + f (x) \leq 2 x + 1$ 对一切 $x \in R$ 恒成立且 $f (0) = 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ， $x \in (- \infty, - 1]$ 其中 $a > 0$ ， $b \in R$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 5$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $a^{2} = 4 b$ 时，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

性别	正常	超重	合计
男		20
女	20
合计			100