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相关试卷

1、 $\tan \frac{π}{5} \sin \frac{2 π}{5} + \sin \frac{π}{10} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件 $J_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示随机事件“第i（ $i = 1, 2, 3$ ）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（）

A、 $J_{1} \cap J_{2}$ B、 $\bar{J_{2} \cup J_{3}}$ C、 $J_{1} \cap J_{2} \cap \bar{J_{3}}$ D、 $\bar{J_{1}} \cap \bar{J_{2}} \cap \bar{J_{3}}$

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3、已知向量 $\vec{m} = (1, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 4, 6)$ ，则 $\vec{m} \cdot (\vec{n} - \vec{m}) =$ （）

A、 $- 60$ B、 $- 45$ C、34 D、65

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4、已知 $z = \frac{2 + (a - 2) i}{i}$ （ $a \in R$ ）为纯虚数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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5、已知集合 $A = \{- 7, - 3, 1, 5\}$ ， $B = \{x| y = \lg (x + 2)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 7, - 3\}$ B、 $\{1, 5\}$ C、 $\{- 3, 1, 5\}$ D、 $\{5\}$

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6、函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为.

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7、如图，点 $D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的动点，已知 $A B = B C = 3$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A C D$

(1)、证明： $B D ⊥ B C$ ；

(2)、若线段 $A C$ 上存在一点 $E$ 满足 $\vec{C E} = 2 \vec{E A}$ ，当三棱锥 $C - A B D$ 的体积取得最大值时，求平面 $B E D$ 与平面 $A E B$ 夹角的余弦值．

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8、

(1)、直线 $l_{1} : x + y - 2 m = 0$ 与直线 $l_{2} : (m^{2} - 2) x - y + 2 = 0$ 平行，求 $m$ 的值；

(2)、直线 $l_{1} : a x + (1 - a) y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x + (2 a + 3) y - 2 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值.

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9、已知 $A (3, 5)$ 、 $B (5, 7)$ ，直线 $l$ 的斜率是直线 $A B$ 斜率的 $\sqrt{3}$ 倍，则直线 $l$ 的倾斜角为.

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10、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $B, D$ 在以线段 $A C$ 为直径的圆 $O$ 上运动，且 $B, D, O$ 三点共线，点 $M, N$ 分别是线段 $B C, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列说法中正确的有（）

A、存在点 $B$ ，使得平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 不垂直 B、当直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积最大时，直线 $A_{1} C$ 与直线 $A B_{1}$ 垂直 C、当 $A B = 2$ 时，过点 $A_{1}, B, N$ 的平面截该四棱柱所得的截面周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ D、当 $A B = 2$ 时，过 $M N$ 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 $\frac{5 π}{2}$

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11、点 $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点，以 $M$ 为圆心的圆与 $x$ 轴相切于椭圆的焦点 $F$ ，圆 $M$ 与 $y$ 轴相交于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q M$ 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$

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12、已知递减等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2024 = 0$ 两个实根，当 $a_{n} = 0$ 时， $n =$ （）

A、2026 B、2025 C、1012 D、2

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13、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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15、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 a c sin B$ ，求：

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $B C$ 边中线 $A D$ 长的最小值.

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16、2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间 $x$ （单位： $s$ ）与位移 $y$ （单位： $m$ ）之间的关系，得到如下表数据：
$x$
2.8
2.9
3
3.1
3.2
$y$
24
25
29
32
34
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差，求前3项残差的和.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 45.1, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 434.7$ ，参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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17、若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，
（1）求a的值；
（2）求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；
（3）求不等式 $\frac{a x + 1}{x + 2} \leq 0$ 的解集.

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18、不等式 $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 的解集为.

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19、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为.

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20、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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$x$	2.8	2.9	3	3.1	3.2
$y$	24	25	29	32	34