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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ､ $F$ 分别为 $B C$ ､ $A C$ 中点， $A D$ 与 $B F$ 相交于点 $P$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ .记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B P} =$ ；若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{E D} =$ .

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2、甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为；若从甲箱中随机摸出3个球，用 $X$ 表示摸出红球的个数，则随机变量 $X$ 的数学期望为.

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3、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + a = 0$ 相交，且它们的公共弦的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的值为.

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4、 $(x + y) \cdot {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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5、 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ .

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6、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 3 C D$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 30 °$ .若梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（）

A、 $38 π$ B、 $48 π$ C、 $128 π$ D、 $208 π$

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7、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，其图象距离 $y$ 轴最近的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{12}$ ，最近的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象在区间 $[- \frac{11 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 内有 $2$ 个对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，离心率为 $2$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1, m)$ 到其焦点的距离为 $4$ .若双曲线的一条渐近线与直线 $A M$ 平行，则双曲线的方程为( )

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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9、函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 零点所在的大致区间为 $(n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、下列结论中错误的是（）

A、在回归模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大，则回归拟合的效果越好 B、样本数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{9} + 1$ 的方差为8，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{9}$ 的方差为2 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.6$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ D、具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，其经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点中心为 $(m, 3)$ ，则 $m = - 5$

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11、函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象是

A、 B、 C、 D、

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12、设 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $\sin α = \sin β$ ”是“ $α + β = π$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x | y = ln (x - 2)\}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $R$

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14、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：（1） $\forall x, y \in R$ ， $f (x + y) = \frac{f (x) + f (y)}{1 + f (x) f (y)}$ ；（2） $\forall x > 0$ ， $f (x) > 0$ ；（3）不存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) = 1$ .

(1)、证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) = \frac{2 f (\frac{x}{2})}{1 + f^{2} (\frac{x}{2})}$ ，并借此证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) < 1$ .

(2)、研究 $f (x)$ 的单调性和奇偶性.

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15、2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为 $A, B$ 两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 $A$ 型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产 $B$ 型该设备的毛收入 $y$ (亿元)与投入的资金 $x$ (亿元)的函数关系为 $y = k x^{a} (x > 0)$ ，其图象如图所示.

(1)、试分别求出生产 $A, B$ 两种型号设备的毛收入 $y$ (亿元)与投入资金 $x$ (亿元)的函数关系式：

(2)、现在公司准备投入20亿元资金同时生产 $A, B$ 两种型号，设投入 $x$ 亿元生产 $A$ 型号，用 $f (x)$ 表示公司所获净利润，当 $x$ 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润= $A$ 型毛收入+B型毛收入 $-$ 研发耗费资金)

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16、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b < 0$ 的解集为 $\{x |1 < x < 2\}$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值并求解不等式 $\frac{a x + 1}{b x - 4} \geq 0$ 的解集；

(2)、当 $x > 0, y > 0$ 且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + 4$ 恒成立，求k的取值范围．

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17、已知幂函数 $f (x)$ 与一次函数 $g (x)$ 的图象都经过点 $(4, 2)$ ，且 $f (9) = g (5)$ .

(1)、求 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式：

(2)、求函数 $h (x) = g (x) - f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上的值域.

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18、已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， $P (1, 2)$ 为角α终边上一点，

(1)、求tanα；

(2)、求 $\frac{\sin (π - α) + 5 \cos (2 π - α)}{2 \sin (\frac{3}{2} π - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值；

(3)、求 $\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α - \cos^{2} α$ 的值.

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19、在 $[- π, π]$ 上，使不等式 $2 \cos x \geq \sqrt{3}$ 成立的 $x$ 的集合为.

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20、设正实数 $x, y$ 满足 $x + 2 y = 4$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{16}{5}$ B、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $x + y$ 的最大值为4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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