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相关试卷

1、小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第 $k$ 天早上八点以 $\frac{1}{k + 1}$ 的概率向存钱罐中存入100元， $k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ ．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，则 $\frac{|\vec{a} - 2 \vec{b}|}{\sqrt{1 - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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3、设点 $P$ 在正四面体 $A B C D$ 的棱 $A B$ 上， $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\frac{A P}{B P} + \frac{B P}{A P} =$ （）

A、4 B、10 C、14 D、20

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4、记 $S_{n}$ 为非零数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n} ， n \in N^{*}$ ，则 $\frac{a_{4}}{a_{1}} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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5、已知 $A B = 2 ， A C = 3 ， B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

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6、已知 $z^{2} - z = \frac{z^{4}}{z}$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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7、甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为 $\frac{1}{5}$ ，甲赢丙的概率为 $\frac{1}{4}$ ，丙赢乙的概率为 $\frac{1}{3}$ .因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

(1)、若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

(2)、请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.

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8、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} =$ $(a, c o s A)$ ， $\vec{n} =$ $(c o s B, b - c)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ $= c \cdot c o s A$ ， $△ A B C$ 外接圆面积为 $3 π .$

(1)、求A；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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9、甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，负的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛之间的胜负相互独立．

(1)、求第三局结束时甲获胜的概率；

(2)、求乙最终以 $2$ 分获胜的概率．

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱 $A A_{1}$ 、棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点．若 $D_{1} P //$ 平面BEF，则AP的取值范围是．

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11、已知函数 $y = - \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = x + k_{2}$ ，其中 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为.

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为．

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13、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方体的中心， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F$ ∥平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点 $F$ 的轨迹是一条线段 C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是随点 $F$ 的运动而变化的 D、若过A， $M$ ， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， $Q$ 为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 2 \sqrt{2}]$

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14、已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）

A、甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B、甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C、甲种样本的 $70 %$ 分位数小于乙种样本的 $70 %$ 分位数 D、甲乙两种水稻近五年的总方差为 $0.072$

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15、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ 、 $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（）

A、高为2 $\sqrt{2}$ B、母线长为3 C、表面积为14π D、体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ π

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16、如图， $F$ 为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点， $A C, B D$ 交于点 $O, \vec{B F} = \frac{1}{4} \vec{B O}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $- \frac{3}{16}$ C、 $\frac{7}{64}$ D、 $- \frac{7}{64}$

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17、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ∥ β$

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18、已知复数z满足 $\frac{\bar{z} - 2}{z + 1} = 2 i$ ，则复数z在复平面内的对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P C = P D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，O点为 $A D$ 的中点， $O B ⊥ O C$ ， $∠ A O B = 30 °$ ， $P O = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ，求平面 $P O B$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角的正切值：

(3)、当 $P A$ 与平面 $P C D$ 的所成角最大时，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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20、风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 $\frac{2 π}{3}$ ，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）．

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．

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