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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} \cos x, - 2 \cos x)$ ， $\vec{c} = (- \cos x, 3 \sin x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $\sin 2 x$ ；

(2)、若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值，以及相应的x的值．

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线交于点O，点E在 $B C$ 上，且 $B C = 4 B E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点G，若 $\vec{C G} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

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3、在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则 $|z| =$ ．

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4、《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列命题正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积 B、该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3 C、该牟合方盖的内切球被平面 $A_{1} C_{1} D$ 截得的截面面积为 $\frac{π}{3}$ D、以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5、函数 $f (x) = A cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图象如图所示，下列正确的是（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = - \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若 $f (\frac{α}{2}) = 1$ ，则 $f (α - \frac{π}{6}) = - 1$ D、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，函数 $g (x) = f (x - \frac{π}{12})$ 是奇函数

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 的中点，点E为 $A C$ 的四等分点（靠近点C）， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \frac{7}{4}$ D、 $\vec{A E}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量

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7、已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $\tan 2 α =$

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $- \frac{7}{24}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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8、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (x - \frac{2 π}{3})$ B、 $g (x) = \sin (4 x - \frac{2 π}{3})$ C、 $g (x) = \sin x$ D、 $g (x) = sin 4 x$

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9、等腰直角 $△ A B C$ 的面积为1，以斜边 $A B$ 所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $π$ D、 $2π$

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (x - 1, 4)$ ， $\vec{b} = (2, x + 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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11、在复平面内，i为虚数单位，若复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ ，则z的实部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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12、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”

(1)、判断 $g (x) = 2 cos x$ ， $x \in [0, 4 π]$ 是否为 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ ， $x \in [0, π]$ 的“4重覆盖函数”，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ， $x \in [- \frac{π}{12}, π]$ 是 $f (x) = tan x$ ， $x \in [0, m]$ 的“3重覆盖函数”，求 $m$ 的范围；

(3)、若 $g (x) = \frac{1 - |\sin ω x|}{x}$ ， $ω > 0$ ， $x \in (0, + \infty)$ 是 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x \in [5, 6]$ 的“9重覆盖函数”，求 $ω$ 的取值范围．

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $cos C = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $a = 2 \sqrt{5}$ ， $A B$ 边上的中线 $C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A$ ；

(3)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，现沿线段 $E F$ 折叠三角形，使顶点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上 $G$ 点，求 $C E$ 长度最小值．

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14、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，已知 $A E = D E = 2$ ， $F$ 为线段 $D E$ 的中点.

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 的体积.

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15、某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成 $[5, 15)$ ， $[15, 25)$ ， $[25, 35)$ ， $[35, 45)$ ， $[45, 55)$ ， $[55, 65]$ 六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．

(1)、求 $x$ 并估计开业当天所有滑雪的人年龄在 $[25, 35)$ 有多少人？

(2)、由频率分布直方图估计样本平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $a$ ；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）

(3)、在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．

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16、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、若 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) (2 \vec{a} + \vec{b}) = 13$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(2)、若 $|\vec{b}| = \frac{3}{2} |\vec{a}|$
① $\vec{E F}$ 与 $\vec{E G}$ 夹角余弦值；
②判断四边形 $E F C G$ 的形状，并说明理由.

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17、已知正四面体的棱长为 $a$ ，球 $O_{1}$ 与正四面体六条棱相切，球 $O_{2}$ 与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 $\frac{V_{O_{1}}}{V_{O_{2}}} =$ ．

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18、从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是.

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19、一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为 $a$ ，第三四分位数为 $b$ ，则 $a + b =$ ；

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为3 C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = 0$ ，则 $λ = - 2$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$

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