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相关试卷

1、若 $- 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为方程 $x^{2} + m x + n = 0$ （ $m, n \in R$ ）的一个根，则 $n =$ .

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2、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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3、如图，在多面体 $E F - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为3的正方形， $E F ∥ A B$ ， E到平面ABCD的距离为3， $E F = \sqrt{6}$ ， $E A = E D = F B = F C$ .若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $19 π$ B、 $20 π$ C、 $21 π$ D、 $22 π$

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4、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ C F D$ 分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.

(1)、求证： $E F ⊥ P B$ ；

(2)、点M是PD上一点，若直线MF与平面 $P E F$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $M - E F - D$ 的余弦值.

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5、在① $b (1 + \cos A) = \sqrt{3} a \sin B$ ， ② $\sqrt{3} b \cos \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， ③ $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
$△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $D$ 是BC上一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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6、如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F / / A E$ ， $B F / /$ 平面 $A D E$ .

(1)、求证： $A D / / B C$ ；

(2)、若 $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = C F = 2$ ， $A E = B C = 4$ ，求三棱锥 $F - B C E$ 的体积.

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7、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数；

(2)、现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在 $[80, 90)$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在 $[90, 100]$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在 $[80, 100]$ 的所有答卷的成绩的方差 $s^{2}$ .

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8、袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，得到黄球或红球的概率是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？

(2)、从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

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9、已知点 $A (1, 2)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, k)$ .

(1)、若A，B，C三点共线，求 $| \vec{A C} |$ ；

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ (\vec{A B} - \vec{A C})$ ，求 $\cos 〈 \vec{A B}, \vec{A C} 〉$ .

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10、甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为.

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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12、一组数据6，7，8，a，12的平均数为7，则此组数据的极差为.

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面 $A B C$ 的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、异面直线 $A_{1} B$ 与CD所成的角为 $30 °$ D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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14、下列有关平面向量的说法中正确的是（）

A、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为非零向量，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，则点 $D$ 为BC边上靠近 $C$ 的三等分点 D、在平面四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形

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15、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚正面朝上”，事件 $C =$ “两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（）

A、 $A \cup B = Ω$ B、 $B \cap C = C$ C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $\bar{A}$ 与 $C$ 互斥

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16、关于复数 $z$ 及其共轭复数 $\bar{z}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $| z |^{2} = z^{2}$ B、 $| z |^{2} = | \bar{z} |^{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ D、 $z - \bar{z}$ 一定是纯虚数

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17、2022年12月26日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得 $∠ D A B = 45 °$ ， $∠ A B D = 60 °$ ， $A B = 63$ 米，在点A处测得碑顶C的仰角为30°，则纪念碑高CD约为（）（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

A、27米 B、33米 C、39米 D、40米

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18、将半径为2，圆心角为 $π$ 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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19、复数 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{9} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、 $- 1$ D、1

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20、已知 $\vec{e}$ 是单位向量， $|\vec{a}| = 6$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 方向上的投影向量是 $- 3 \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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