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相关试卷

1、点O是△ABC所在平面内的一点，满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点O是 $Δ A B C$ 的心．

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2、已知i是虚数单位，则 $i + i^{3} + i^{5} + i^{7} =$

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3、已知圆O内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $A D = C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ C、该外接圆的直径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 1$

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4、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形 C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内的一组基底，则 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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5、若非零向量 $\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C}$ 满足 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}) \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ，且 $\frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边与腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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6、设 $a = \frac{1}{2} \cos 6^{°} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6^{°}$ ， $b = \frac{2 \tan 13^{°}}{1 - \tan^{2} 13^{°}}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^{°}}{2}}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7、设 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ ，则 $\sqrt{1 + \sin 2 x} + \sqrt{1 - \sin 2 x} =$ （）.

A、 $2 \sin x$ B、 $2 \cos x$ C、 $- 2 \sin x$ D、 $- 2 \cos x$

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8、 $\sin 45 ° \cos 15 ° + \cos 45 ° \cos 75 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、（用坐标法不给分）如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 向上翻折，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ .

(1)、若 $A_{1} C = \sqrt{2}$ ，求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值；

(2)、求证： $D E ⊥ A_{1} C$ ；

(3)、在翻折过程中，记二面角 $A_{1} - D E - C$ 的大小为 $θ$ ，求二面角 $A_{1} - C D - B$ 的最大值及此时 $θ$ 的值.

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10、乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为 $12 : 10$ ，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $p$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球.

(1)、若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为 $\frac{4}{15}$ ，求 $p$ 的值；

(2)、若 $p$ 满足（1）中条件取值，记事件 $A =$ “两人又打了4个球该局比赛结束”，事件 $B =$ “两人又打了 $2 n (n \in N^{*})$ 个球该局比赛结束”.
（i）求 $P (A)$ ；
（ii）直接写出 $P (B)$ .

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11、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，且 $E$ 为 $A C$ 的中点. $∠ A B D = 45 °$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ， $B E = 2 D E$ .

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A B C$ .

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，过点 $E$ 的直线分别与边 $A B$ ， $A C$ 交于点 $M$ ， $N$ （不含端点）.若 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ， $x, y > 0$ .

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ （请写出具体推理步骤）；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的值.

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13、（用坐标法不给分）如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $B D E$ 的距离.

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14、已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，棱 $l$ 上有两个不同的点 $A$ ， $B$ ， $A C \subset α$ ， $B D \subset β$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A C = A B = B D = 1$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值为.

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ， $\vec{c} = \vec{a} + λ \vec{b}$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ .

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16、已知复数 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的根，则 $z =$ .

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $M$ 为线段 $C C_{1}$ （含端点）上的动点，由点 $A$ ， $D_{1}$ ， $M$ 确定的平面为 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面 $α$ 截正方体的截面可能为等腰梯形 B、平面 $α$ 截正方体的截面可能为菱形 C、点 $M$ 运动过程中，三棱锥 $A_{1} - A D_{1} M$ 的体积为定值 D、三棱锥 $A_{1} - A D_{1} M$ 的外接球表面积的最小值为 $\frac{41}{16} π$

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18、有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（）

A、甲与乙相互独立 B、甲与丙相互独立 C、乙与丁互斥 D、丙与丁互为对立

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19、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $|z| = 1$ D、 $z^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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20、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ ，则 $tan A + \frac{1}{tan B}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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