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相关试卷

1、已知 $a, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则下列不等式恒成立的有（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 + \sqrt{2}$

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2、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (0, 3), \vec{e_{2}} = (3, 0)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5), \vec{e_{2}} = (- 6, - 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1, 3), \vec{e_{2}} = (- 2, 6)$

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3、函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (2 - x - x^{2})$ 的增区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2}, 1)$

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4、函数 $f (x) = 3^{x} + 2 x - 4$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”是“ ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、要得到 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 的图象，只要将函数 $y = \sin \frac{x}{2}$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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7、复数 $z = \frac{1}{2 - i}$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- i$ D、 $- 1$

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8、已知函数 $f_{n} (x) = {s i n}^{n} x + {c o s}^{n} x (n \in N_{+}) .$

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3} ，$ 求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x), f_{4} (x), f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k, k \in N_{+}$ 时 $， f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+} ，$ 使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a {(s i n x + c o s x)}^{2} - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围.

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9、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a ，$ b，c，且满足 $2 a \cos B + b = 2 c$ ， $a = 5$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求周长的取值范围；

(3)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r = \frac{5 \sqrt{3}}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积S.

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10、如图是一个以 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知 $A A_{1} = 4, B B_{1} = 2, C C_{1} = 3, A_{1} B_{1} = 2$ .

(1)、求几何体 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、线段 $C C_{1}$ 上有一动点 $P$ ，求使 $B_{1} P + P A$ 最小时 $C P$ 的长.

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (4, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $x$ 与 $y$ 的值；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小.

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12、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 2$ ， $P, Q$ 分别为边 $A D, A B$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A P Q$ 的面积的最大值为.

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13、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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14、有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = A D = 2$ ， $D C ⊥ B C$ ，则原多边形面积为．

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15、已知点O在 $△ A B C$ 所在的平面内，则下列命题正确的是（）

A、若O为 $△ A B C$ 的外心， $A B = 6, A C = 4$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = 10$ B、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 2$ C、若 $\vec{O A} + 5 \vec{O B} - 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O B$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为 $1 : 4$ D、若 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O C} = m \vec{A B} (m > 0)$ ， $△ A B O$ 的面积为8，则 $△ A B C$ 的面积为14

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16、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、 $i^{2025} = i$ B、 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = {|\bar{z_{1}}|}^{2}$ D、 $z_{2}^{2} = {|z_{2}|}^{2}$

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17、在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} + e^{1 - 2 x} + |2 x - 1| ，$ 使得不等式 $f (2 m + 1) < f (m + 2)$ 成立的实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$ B、 $(- 1, \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $P A = 6$ ，点P在平面 $A B C$ 上投影为A，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $100 π$ B、 $75 π$ C、 $80 π$ D、 $120 π$

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .若 $a = 3, c sin B = 1, C = 45^{\circ}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $- \frac{1}{10}$

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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