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相关试卷

1、已知集合 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{0, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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2、如图，正 $△ A B C$ 的边长为1， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线且点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线与边 $A B 、 A C$ 分别交于点 $M 、 N$ （点 $M 、 N$ 可以和端点重合）

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、当 $A M = \frac{4}{5}$ 时，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的值；

(3)、设 $∠ M O A = α$ ，请用 $α$ 表示 $\sqrt{O M^{2} + O N^{2} + O D^{2}}$ ，并求其取值范围.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若 $P C = 4$ ，且平面 $P A C$ ⊥平面 $P B C$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 体积.

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4、在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段： $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90]$ ，绘制了如下的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布表，估计该小组第 $62$ 百分位数以及平均成绩.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 6$ ， $2 a - b = 2 c \cos B$ ，

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $a$ 的值．

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6、如图，在边长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则点 $B_{1}$ 和满足条件的所有点P构成的图形的周长是.

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围为.

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8、如图，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是水平放置的平面四边形 $A B C D$ 用斜二测画法画出的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则原四边形 $A B C D$ 中最长边的长度为．

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9、如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（）

A、 $M$ 为线段 $E B$ 上的动点，则 $A M + M C$ 最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、该正八面体的表面积是 $8 \sqrt{3}$ C、该正八面体的体积是 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ D、平面 $A B E$ 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 $\frac{4 π}{3}$

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10、下列命题中，正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $sin B > sin A$ ，则 $A > B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $sin A > cos B$ 恒成立 C、当 $a = 2 \sqrt{3}, b = 4, A = 60 °$ 时，满足条件的三角形共有1个 D、若 $sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7$ 则这个三角形的最大角是 $120 °$

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11、已知 $a \in N$ ，记一组数据1，2，3，a，8为 $M$ ，则（）

A、若 $M$ 的极差为9，则 $a = 10$ B、若 $M$ 的80%分位数是6，则 $a = 4$ C、若 $M$ 的平均数为3，则 $a = 2$ D、若 $a = 1$ ，则 $M$ 的方差为6.6

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 为三个内角，则“ $\frac{1 + \sin 2 A}{\cos 2 A} = \frac{1 + \sin 2 B}{\cos 2 B}$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 $1$ ，则圆锥的体积为 $($ $)$

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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14、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}| = 4$ ，对任意 $x \in R$ ， $|x \vec{a} + \vec{b}| \geq |\vec{b} - \sqrt{3} \vec{a}|$ 恒成立，则 $|2 \vec{a} + λ \vec{b}| (λ \in R)$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、3

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15、在棱长为2的正方体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M为棱 $C C_{1}$ 的中点，则点B到平面 $A_{1} B_{1} M$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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16、已知 $α ， β$ 为两个不同的平面， $m ， n$ 为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α ， m / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m / / n, m / / α, n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α / / β, α \cap γ = m, β \cap γ = n$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ， n$ 为异面直线， $m / / α, n / / β$ ，则 $α / / β$

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过点 $A$ 作一个截面，则截面不可能是（）

A、正三角形 B、平行四边形 C、五边形 D、六边形

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18、 $(2 - 4 i) \cdot i$ 的虚部为（）

A、4 B、 $2 i$ C、 $- 2 i$ D、2

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19、已知（i，j，k)是 1，2，3的一个排列，对函数 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x),$ 对于任意x∈I，都有 $f_{1} (x) \leq f_{i} (x)$ 且 $f_{1} (x) + f_{2} (x)$ $\leq f_{i} (x) + f_{j} (x),$ ，则称（i，j，k)是关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的一个I排列，关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的I排列总数记为n_I.

(1)、对 $I = [3, + \infty), f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 0, f_{3} (x) = x^{2} + 1,$ 判断（3，1，2)是否为I排列?

(2)、对 $I = (0, + \infty) f_{1} (x) = x - 1, f_{2} (x) = x + m, f_{3} (x) = x^{2}$ 满足条件的 np=6，求m的取值范围?

(3)、对x∈[0，+∞)，且对任意x∈[0，+∞)，0<F（x)<1，令 $I = [a, + \infty), f_{1} (x) = F (x),$ $f_{2} (x) = \frac{1}{2} (F (x + a) + F (x - a)), f_{3} (x) = 1 - e^{- x},$ 证明：若F（x)严格减，则存在a>0，使 $n_{I} \geq 4$ ；若F（x)严格增，则存在a∈（0，1)， $n_{I} \neq 2$ ；

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20、已知双曲线 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1,$ P为 $Γ$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点.

(1)、求点（2，0)到 $Γ$ 渐近线的距离；

(2)、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 1,$ 求△PF₁F₂的面积；

(3)、设 $Ω : x^{2} - y^{2} = 1,$ 其中 ${\begin{matrix} x < 0 \\ y \leq - 1 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{cases} x ＞ 0 \\ y \geq - 1 \end{cases}$ ，过点F₂的直线l交Ω于P、Q两点（分别位于一、四象限)，过点F₂直线m交Ω于M、N两点（分别位于三、四象限)，是否存在正数λ，对于任意的l，都存在唯一的m，使|MN|=λ|PQ|成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由.

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