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相关试卷

1、已知 $a \in R$ ，直线 $l_{1} : 2 x + a y - 2 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x + 2 y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 1$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = \pm 2$ D、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ .当 $|P F_{1}| + |P Q|$ 取最小值为4时，则 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3、已知公比为3的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ，不等式 $2 S_{n} a_{n} - m a_{n} + 27 \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 9]$ B、 $(- \infty, 16]$ C、 $(- \infty, 17]$ D、 $(- \infty, 29]$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2}, P$ 是 $C$ 上一点，若 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = a$ ，且 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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5、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的公切线有3条，则实数 $r$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, x, y)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = 2, y = 6$ B、 $x = 2, y = - 6$ C、 $x = - 2, y = 6$ D、 $x = - 2, y = - 6$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，若 $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $a_{5}$ 为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、已知直线 $l : y = - x + m$ 经过圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 8 = 0$ 的圆心，则实数 $m$ 为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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9、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 4 ， S_{8} = 4$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值以及取得最大值时的 $n$ 的值；

(3)、求 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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10、甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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11、在平面直角坐标系中，圆 $M$ 的圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $2$ .

(1)、过点 $P (0, 4)$ 作圆 $M$ 的两条切线，求这两条切线的斜率之和；

(2)、若过点 $(0, - 1)$ 的直线与圆 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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12、点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面 $α$ 外，且 $P A ⊥ α$ ， $P B = P C = \sqrt{17}$ ， $t a n ∠ B P C = \frac{8}{15}$ ，当 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离最大时， $△ A B C$ 的面积为.

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ .

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14、已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 4 a = 0$ ， $l_{2} : x - y - 6 a = 0$ ， $l_{3} : 2 x - y - 4 a = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ B、三条直线的斜率之积为1 C、三条直线的倾斜角之和为 $135^{\circ}$ D、三条直线在 $y$ 轴上的截距之和为12a

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15、如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限）， $E (- \sqrt{p}, 0), | E F | = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若 $| A B | = | C D |$ ，求凹四边形 $O E B C$ 面积的最小值．

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16、某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题：

(1)、该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？

(2)、入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？

(3)、若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.

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17、如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $A B = 2, F A = F C$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ .
（1）求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；
（2）求二面角 $E - A F - B$ 的余弦值；
（3）若 $M$ 为线段 $D E$ 上的一点，满足直线 $A M$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{30}}{15}$ ，求线段 $D M$ 的长.

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18、已知函数 $f (x) = k x - x \ln x$ ， $k \in R$ ．
（1）当 $k = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq k$ 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n $\in N^{*}$ ，求证： $\frac{\ln 1}{2} + \frac{\ln 2}{3} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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19、在 $Δ A B C$ 中， $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．
（1）求B；
（2）若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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20、已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上的动点， $F_{1} 、 F_{2}$ 是其左、右焦点， $O$ 是坐标原点，若存在四个点 $P$ 满足 $\frac{|P F_{1}| + |P F_{2}|}{|O P|} = \sqrt{6}$ ，则此双曲线的离心率取值范围．

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