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相关试卷

1、以下四个命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ ，则 $P, A, B$ 三点共线 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间的另一个基底 C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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2、在空间四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⃑}{D A} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{D B} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{D C} = \overset{⃑}{c}$ ，且 $\overset{⃑}{D M} = \overset{⃑}{M A}, \overset{⃑}{B N} = 2 \overset{⃑}{N C}$ ，则 $\overset{⃑}{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} a_{n} = a_{n} - 1$ ，则 $a_{2024} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 1$

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4、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{100}} =$ （）

A、 $\frac{100}{101}$ B、 $\frac{1}{101}$ C、 $\frac{101}{100}$ D、 $\frac{99}{100}$

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5、直线 $l : x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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6、定义满足 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ 的实数 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的然点.已知 $f (x) = (\ln x + a) e^{- x}$ .

(1)、证明：对于 $\forall a \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 必有然点；

(2)、设 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的然点，判断函数 $g (x) = f (x) - f (x_{0})$ 的零点个数并证明.

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7、我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
中秋天气
元宵天气
合计
降水
无降水
降水
19
41
60
无降水
50
90
140
合计
69
131
200

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？

(2)、从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求 $P (B |A)$ .
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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8、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足 $F_{1} P / / F_{2} Q$ ，且P，Q在x轴上方，直线 $F_{1} Q$ ， $F_{2} P$ 交于点G.已知直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $k (k > 0)$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $|P F_{1}| + |Q F_{2}|$ 的值；

(2)、记 $△ P F_{1} G$ ， $△ Q F_{2} G$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

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9、已知 $S_{n}$ 为公差为2的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 为等差数列.

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{S_{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和.

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10、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 4$ ， $b = 8$ ，角C为锐角，已知 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{7}$ .

(1)、求c；

(2)、若 $C D$ 为 $A B$ 上的中线，求 $∠ B D C$ 的余弦值.

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11、已知点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + \frac{1}{3} c^{2}$ 在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率 $e =$ .

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12、位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 $∠ B C D = 70 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 108$ 米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高 $A B$ 为米.（结果保留整数，参考数据： $\cos 80 ° \approx 0.174$ ）

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13、已知二项式 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为84，则 $n =$ .

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14、直线 $y = \sqrt{3}$ 的倾斜角是.

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15、（多选）已知数据 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$ ，若去掉 $x_{4}$ 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的平均数与方差为 $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ，记 $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ ， $x_{7}$ 的平均数与方差为 $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}} > 2 x_{4}$ B、 $\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}} < 2 x_{4}$ C、 $s_{1}^{2} - s_{2}^{2} > \frac{1}{4} [\sum_{k = 1}^{4} {(x_{k} - x_{4})}^{2} - \sum_{k = 4}^{7} {(x_{k} - x_{4})}^{2}]$ D、 $s_{1}^{2} - s_{2}^{2} < \frac{1}{4} [\sum_{k = 1}^{4} {(x_{k} - x_{4})}^{2} - \sum_{k = 4}^{7} {(x_{k} - x_{4})}^{2}]$

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16、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ， $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{12}$ 个单位可得到函数 $y = g (x)$ 的图象 B、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得到函数 $y = g (x)$ 的图象 C、函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{24}$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7π}{24}, 0)$ 对称

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17、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A_{1} A = \frac{\sqrt{3}}{2} A B$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为线段 $A B_{1}$ 上的动点，则下列命题正确的是（）

A、 $\{\vec{O A}, \vec{B D}, \vec{A B_{1}}\}$ 可作为一组空间向量的基底 B、 $\{\vec{O A}, \vec{O D}, \vec{A B}\}$ 可作为一组空间向量的基底 C、直线 $O P / /$ 平面 $C_{1} B D$ D、向量 $\vec{C P}$ 在平面 $A B_{1} D_{1}$ 上的投影向量为 $\vec{O P}$

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18、已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $x = 0$ D、若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{5 π}{6}$ ，则 $x = - \sqrt{3}$

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19、已知四面体 $A B C D$ ， $△ A B C$ 是边长为6的正三角形， $D A = D B = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $D - A B - C$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $40 π$ B、 $52 π$ C、 $72 π$ D、 $84 π$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ ， $b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n - 1}$ B、 $2^{\frac{n - 1}{2}}$ C、 $2^{\frac{n + 1}{2}}$ D、 $2^{\frac{2 n - 1 + {(- 1)}^{n}}{4}}$

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中秋天气	元宵天气		合计
中秋天气	降水	无降水	合计
降水	19	41	60
无降水	50	90	140
合计	69	131	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828