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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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4、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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5、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6、袋中共装有 $n$ 个小球，分别标有编号1，2，3，…， $n$ .现采用“先试验后锁定”的策略进行 $m (m < n)$ 次操作：前 $k (k \leq m)$ 次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的 $m - k$ 次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记 $S$ 为这 $m$ 次操作中记录的全部编号之和， $E (S)$ 为 $S$ 的数学期望.

(1)、当 $n = 10$ ， $m = 5$ ， $k = 3$ 时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；

(2)、若 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， …， $X_{i}$ 是定义在同一个随机试验样本空间上的任意 $i$ 个离散型随机变量，则 $E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{i}) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{i})$ .基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当 $m = 17$ 时，求 $E (S)$ 的最大值以及此时 $k$ 的值.

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7、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ ， $Q$ 为双曲线左支上的两点，直线 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $G$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{F_{1} G} = 3 \vec{P F_{1}}$ ，求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、设线段 $P Q$ 的中点为 $D$ ，直线 $P Q$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，点 $N$ 为 $M$ 关于原点的对称点，以 $N$ 为圆心作与 $y$ 轴相切的圆，过 $D$ 作该圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $sin ∠ E D F$ 的取值范围.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = B C = 2 A D = 2$ ， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ .以 $A C$ 为直径的球面分别交 $P B$ ， $P C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 异于所在棱端点）.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $M N$ 与 $C D$ 的夹角；

(3)、求三棱锥 $C - M N D$ 的体积.

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9、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a = 2 b cos \frac{A}{2}$ .

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $cos A = \frac{2}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{7 \sqrt{5}}{6}$ ，求 $a$ .

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10、已知函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x + a - 3 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、讨论导函数 $f^{'} (x)$ 的单调性．

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11、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ ，按如下方法依次构造点列 $A_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ：设点 $A_{1} (1, - 4)$ ，过抛物线上点 $A_{n}$ 作斜率为4的直线 $l_{n}$ 与抛物线 $C$ 交于另一点 $B_{n}$ ， $A_{n + 1}$ 为 $B_{n}$ 关于 $x$ 轴的对称点.记 $A_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ，数列 $\{y_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}} =$ .

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12、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $g (2 - x) + f (x) = 1$ ， $g (x) - f (x - 1) = - 1$ ，若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则（）

A、 $f (2026 - x) + f (x - 2025) = 2$ B、 $f (\frac{5}{2}) + g (\frac{5}{2}) = 1$ C、 $g (x)$ 是奇函数 D、 $Σ_{k = 1}^{2026} f (k) = 2026$

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13、设 $a$ ， $b$ 为异面直线， $α$ 为平面，已知 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a \subset α$ ， $b ∥ α$ ，动点 $M \in α$ .若 $M$ 到直线 $a$ ， $b$ 的距离相等，则 $M$ 的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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14、抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程 $\hat{y} = 10 x + \hat{a}$ ，据此模型预测当 $x = 10$ 时， $y$ 的估计值为（）
$x$
2
4
5
6
8
$y$
20
45
60
75
80

A、100 B、106 C、110 D、116

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15、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、52个 C、60个 D、120个

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{\log_{a} x} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $f (2) + f (4) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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17、若集合 $A = \{0, 1, 3, 5\}, B = \{x ∣ y = ln (4 - x)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{0, 1, 3\}$

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18、悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 $c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：① ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ， ②和角公式： $cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y$ ， ③导数： $\{\begin{matrix} (\sin x)^{'} = \cos x, \\ (\cos x)^{'} = - \sin x, \end{matrix}$ 定义双曲正弦函数 $s h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．

(1)、直接写出 $s h (x), c h (x)$ 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）：

(2)、若当 $x > 0$ 时， $s h (x) > a x$ 恒成立，求实数a的取值范围：

(3)、求 $f (x) = c h (x) - cos x - x^{2}$ 的最小值．

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19、寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 $60 %$ ，跳绳的概率为 $40 %$ ，在下雪天，他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $50 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $p_{n}$ ．

(1)、求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值，并证明 $\{p_{n} - \frac{6}{11}\}$ 是等比数列；

(2)、求小明寒假第 $n$ 天通过运动锻炼消耗能量的期望．

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20、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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$x$	2	4	5	6	8
$y$	20	45	60	75	80