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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{n} \neq 0$ ，且 $\frac{1}{2^{a_{2}} + 1} + \frac{1}{2^{a_{2020}} + 1} \leq 1$ ．（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $S_{2021} \geq 0$ B、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $a_{1011} \leq 0$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $T_{2020} > 0$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $a_{2020} < 0$

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2、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{4}$ C、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 D、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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3、若 $cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，不与 $x$ 轴垂直的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ），且直线 $A_{1} P$ 的斜率等于直线 $A_{2} Q$ 的斜率的2倍，求证：直线 $l$ 经过定点．

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5、随机变量 $ξ \sim N (4, 2)$ ，若 $P (ξ > 2 a - 1) = P (ξ < a)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P_{1} (2, 2)$ ，其渐近线的方程为 $y = \pm 2 x$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ；过右支上点 $P_{n - 1}$ 作斜率为1的直线与C的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，过 $Q_{n - 1}$ 再作斜率为 $- 1$ 的直线与C的右支交于点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、用 $x_{n}, y_{n}$ 表示点 $Q_{n - 1}$ 的坐标；

(3)、求证：数列 $\{2 x_{n} - y_{n}\}$ 是等比数列．

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，且 $S = a^{2} sin 2 B$ ．

(1)、证明： $tan B = 3 tan A$ ；

(2)、若 $A = 45^{\circ}$ ， $B C$ 边上的高为 $6$ ，求 $b$ ．

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8、已知 $α$ 是第三象限角， $\cos (α + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1 - \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan \frac{α}{2}} =$ .

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9、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、圆C的半径为2 B、满足 $|O M| = 5.5$ 的点M有1个 C、 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的最大值为 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、若点P在x轴上，则满足 $|O M| = 2 |P M|$ 的点P有两个

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10、下列选项正确的是（）

A、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim N (3, 2)$ ，则 $E (X) = 3$ B、已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6 C、二项式 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中的常数项为 $- 8$ D、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 5) = 6$

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x} + f (x)$ ，其中 $g (x)$ 是奇函数且在 $R$ 上单调递减， $f ({log}_{2} x) + f (2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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12、若 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ 的动点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为5，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 5 x$

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13、若复数 $z = \frac{i + a}{1 + i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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14、设正整数 $n \geq 2$ ，对于数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T (A)$ ： $a_{1} a_{2}, a_{2} a_{3}, \dots, a_{n - 1} a_{n}, a_{n} a_{1}$ ．已知数列 $A_{0} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 满足 $a_{i} \in \{- 1, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $A_{k + 1} = T (A_{k}) (k = 0, 1, 2, \dots)$ ．

(1)、若 $A_{0}$ ： $- 1, 1, 1$ ，写出数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ；

(2)、若 $n$ 为奇数且 $A_{0}$ 不是常数列，求证：对任意正整数 $k$ ， $A_{k}$ 都不是常数列；

(3)、求证：当且仅当 $n = 2^{m} (m \in N^{*})$ 时，对任意 $A_{0}$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $A_{k}$ 为常数列．

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15、已知椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A$ ， $B$ 分别是 $W$ 的左、右顶点， $C$ 是 $W$ 的上顶点， $△ A B C$ 的面积为2，且 $|A C| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $W$ 的方程及长轴长；

(2)、已知点 $M (2, 1)$ ，点 $P$ 在直线 $A C$ 上，设直线 $P M$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，直线 $B P$ 与直线 $E C$ 交于点 $Q$ ，判断点 $Q$ 是否在椭圆 $W$ 上，并说明理由．

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16、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数 D、当 $x \in [3 π, 4 π]$ 时， $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有2个交点

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17、已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 $[0, 3]$ D、 $(1, 3]$

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第2项为3，其前5项和为25．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4$ ， $b_{3} + b_{2} = 80$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明 $\{c_{n}^{2} - c_{2 n}\}$ 是等比数列；
（ⅱ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{i} a_{i + 1}}{c_{i}^{2} - c_{2 i}}} < 2 \sqrt{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．

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19、设函数 $f (x) = e^{x + 1} + k x^{2}$ 在 $x = - 1$ 处的切线经过坐标原点，

(1)、求 $k$ ；

(2)、是否存在实数 $a, b$ 使得函数 $g (x) = f (x) + e^{- x} + a x$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求出 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、若 $f (x) \geq c |x|$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围．

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ， $\vec{B_{1} D} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 < λ < 1)$ ，

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若二面角 $B_{1} - A_{1} B - D$ 与二面角 $D - A_{1} B - C_{1}$ 的大小相等，求 $λ$ 的值．

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