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相关试卷

1、已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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2、在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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3、复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（）

A、 $C_{5}^{4}$ B、 $A_{5}^{4}$ C、 $5^{4}$ D、 $4^{5}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{B}{2}) = \sqrt{3}$ ，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 5$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，求AD的长．

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ .
（1）求A；
（2）已知 $b = 3$ ，若 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C} = 2 \overset{⃑}{A M}$ 且 $|\overset{⃑}{A M}| = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} - 1| = 2$ ，求 $|z_{1} - z|$ 的最值．

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} =2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是．

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9、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是空间中两个不共线的向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $A, B, D$ 三点共线，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $- 4$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B} = 2 \sqrt{6}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 6$ .

(1)、求证： $a + b = \frac{\sqrt{2}}{2} a b$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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12、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} B M$ 与底面 $A B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} B M$ ；

(2)、证明： $l ∥$ 平面 $A_{1} M C$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (1, - 2)$

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $k$ 的取值范围.

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14、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $C = 60 °$ ， $a = 1$ ， $c = \sqrt{7}$ ，则 $b =$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 1$ B、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 只有一解，则 $b$ 的取值范围为 $(0, 1]$ D、 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = \frac{1}{2}$

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16、下列结论正确的是（）

A、在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，直线BD₁与B₁C是异面直线 B、不共面的四点可以确定4个平面 C、圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍 D、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

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17、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 为实数 B、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $|z_{1} - 2 + i|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ C、 $|z_{2} \bar{z_{1}}| = |z_{2} z_{1}|$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$

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18、已知点G为三角形ABC的重心，且 $|\vec{G A} + \vec{G B}| = |\vec{G A} - \vec{G B}|$ ，当 $∠ C$ 取最大值时， $\cos C =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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19、已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，则该三棱柱的侧棱长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $b = 4$ ， $C = 150^{\circ}$ ，则这个三角形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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