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相关试卷

1、已知点 $M (1, - \sqrt{3})$ ， $N (- \sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $M N$ 的倾斜角为.

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2、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列几个结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$

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3、某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A、甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 $\frac{1}{2}$ B、乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 $\frac{1}{6}$ C、丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{1}{10}$ D、丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{2}{7}$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4 m} + \frac{y^{2}}{6 - 4 m} = 1$ ，则（）

A、椭圆的长轴长为 $4 \sqrt{m}$ B、当 $m = 1$ 时，椭圆的焦点在 $x$ 轴上 C、椭圆的焦距可能为6 D、椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值

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5、已知直线 $l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 与 $l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，线段 $A B$ 是圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 - 4 \sqrt{2}$ C、 $5 + 6 \sqrt{3}$ D、 $20 \sqrt{5} - 1$

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6、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_{1}$ 为以 $A B$ 为直径的 $△ A B C$ 的外接圆，若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $A B = O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $80 π$ B、 $64 π$ C、 $36 π$ D、 $32 π$

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2$ ，若直线 $y = - \sqrt{3} (x + 1)$ 与椭圆交于点 $M$ ，满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ ，满足： $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）

A、中位数不变 B、平均数不变 C、若 $x_{1} = 1$ ，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ 的第80百分位数为15 D、方差变小

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9、在空间直角坐标系中，已知点 $P (x, y, z)$ 下列叙述中正确的是（）
①点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1} (x, - y, z)$
②点 $P$ 关于 $y O z$ 平面的对称点是 $P_{2} (- x, y, z)$
③点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $P_{3} (x, - y, z)$
④点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4} (- x, - y, - z)$

A、①② B、①③ C、②④ D、②③

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10、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ ，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{c}$ D、 $\vec{b}, \vec{a}, \vec{a} + \vec{b}$

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11、某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）

A、抽签法 B、随机数法 C、系统抽样法 D、分层抽样法

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12、若存在 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的次不动点.
已知 $f (x) = \{\begin{cases} 2 a x, x \leq \frac{1}{2}, \\ 2 a - 2 a x, x > \frac{1}{2}, \end{cases}$ $a$ 为常数且 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $\frac{2}{3}$ 是否为函数 $f (x)$ 的次不动点，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个次不动点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②若对任意 $x \in R, f (f (x)) \leq f (f (x_{3}))$ ，且 $x_{3} < \frac{1}{2}$ ， $P (x_{1}, f (f (x_{1})))$ ， $Q (x_{2}, f (f (x_{2})))$ ， $R (x_{3}, 0)$ ，求△ $P Q R$ 的面积的取值范围.

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13、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，且经过点 $M (2, \frac{2}{5} \sqrt{5})$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 、 $B$ 在 $y$ 轴的同侧.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，直线 $A C$ 、 $B C$ 分别交 $y$ 轴于 $P$ 、 $Q$ 两点，记 $△ P Q C$ 和 $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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14、如图，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $D$ 是 $A C$ 中点， $E$ 、 $F$ 分别是 $B A$ 、 $B C$ 边上的动点，且 $E F // A C$ ，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 折起，将点 $B$ 折至点 $P$ 的位置，得到四棱锥 $P - A C F E$ .

(1)、求证： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B A}$ ，二面角 $P - E F - C$ 是直二面角，求平面 $P E F$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值；

(3)、当 $B C = 2$ 时，是否存在这样的点 $F$ ，使得二面角 $P - E F - C$ 为 $\frac{π}{3}$ ，且直线 $P D$ 与平面 $A C F E$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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15、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $(m + 1) x + y - m - 1 = 0$ 过定点 $A$ ，设圆 $C$ 的半径为2，圆心在直线 $l$ ： $x + y - 2 = 0$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = 2 x + 5$ 上，求过点 $A$ 与圆 $C$ 相切的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $|O A| = |O M|$ ，求圆心 $C$ 的横坐标的取值范围.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin C \cos B + c \sin B \cos C + \sqrt{3} a \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、已知 $c = 7$ ， $a b = 15$ ，求 $a$ .

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，直线 $x = t$ 与椭圆交于点 $M$ 、 $N$ ， $△ F M N$ 的周长最大值为 $2024 c + \frac{1}{c} - 2$ ，则椭圆离心率的最大值为.

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18、在G5联盟考试成绩中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：70，77，90，101，115，119，138，149，则第70百分位数为.

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + ν \vec{A A_{1}}$ ，其中 $λ$ ， $μ$ ， $ν \in [0, 1]$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $λ = 2 μ$ ， $ν = 0$ ，则 $D_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$ B、若 $λ = μ$ ，则 $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ C、若 $P D_{1} //$ 平面 $D E F$ ，则 $λ + 2 μ - 2 ν = 0$ D、若 $P D_{1} ⊥ P F$ ，则 $λ + μ + ν \in [1, 3]$

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20、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $e$ ，焦距为 $2 c$ ，直线 $y = k x$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 位于第一象限，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（）

A、若 $A F ⊥ B F$ ，则 $|A B| = 2 c$ B、若 $k = \sqrt{3}$ ，则 $e > 2$ C、若 $e = 2$ ，则 $\frac{|A F|}{|A N|} > 2$ D、 $|A F| - |A N| \geq 2 a$

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