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相关试卷

1、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 0.96)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} =$ .

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2、设函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ ； B、任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ； C、任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ； D、规定 $f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $f_{n} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{n + 2}$ .

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3、下列函数中，是偶函数且值域为 $[0, + \infty)$ 的有（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = |x^{2} - 2|$ C、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ D、 $y = x^{2} - 2 | x |$

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4、已知函数 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{2}{x}$ ，记 $F (x) = \max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ ，则下列关于函数的说法不正确的是（）

A、当 $x \in (0, 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减 D、若关于x的方程 $F (x) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则 $- 2 < m < - 1$ 或 $m > 1$

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5、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0, m > 0$ ，则 $\frac{m}{a} < \frac{m}{b}$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $- 2 < a < 3, 1 < b < 2$ ，则 $- 3 < a - b < 1$

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6、命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} < 2$ C、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} \geq 2$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$

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7、已知集合 $A = {- 2, 1, 2}, B = {x ∣ (x + 2) (x - 1) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $[- 2, 1]$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 2, 1, 2}$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且经过点 $(- 2 ， 0)$ 和 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上不在 $x$ 轴上的任意一点，射线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别与椭圆 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求 $△ P B F_{1}$ 内切圆面积的最大值；

(3)、设 $△ P F_{1} F_{2}$ ， $△ P F_{1} B$ ， $△ P A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．求证： $\frac{S_{2}}{S_{3} - S_{2}} + \frac{S_{1}}{S_{2} - S_{1}}$ 为定值．

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9、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B$ ， $E$ 为 $P A$ 中点.

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $P B ⊥ A D$ ；

(3)、若 $G$ 是 $P D$ 线段上一动点，直线 $C G$ 与平面 $P C B$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ，求 $\frac{D G}{D P}$ 的值.

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10、已知圆 $C$ 圆心在直线 $y = x$ 上，且经过点 $(1.2)$ 和 $(2, 3)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、自点 $A (- 3, 3)$ 发出的光线 $m$ 射到 $x$ 轴上，被 $x$ 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 $C$ 相切，求光线 $m$ 所在直线的方程．

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11、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $2 \vec{A E} = \vec{E D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 2$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B = 60 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{A B}$ 的值．

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12、直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} : 4 x + 3 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : x + 2 y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 2 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $A (4, 1)$ 到直线 $l$ 的距离为2，求直线 $l$ 的方程．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1, F_{1}, F_{2}$ 分别为左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，满足 $cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{4}$ ，则 $|O P|$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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14、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ 的焦距为 $8$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm 3 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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15、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、内含 B、内切 C、外离 D、相交

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16、直线 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 满足：对给定的非零实数 $t$ ，存在 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0} + t) + f (x_{0}) = 1$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上有“ $t$ 性质”.

(1)、若区间 $I$ 为 $R$ ，给定 $t = 2$ ，判断函数 $f (x) = |x|$ 是否在区间 $I$ 上具有“ $t$ 性质”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 在区间 $(0,1)$ 上具有“ $t$ 性质”，求 $t$ 的取值范围；

(3)、给定 $t = \frac{π}{6}$ ，若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin 2 x$ 在区间 $(0, m)$ （其中 $m > 0$ ）上具有“ $t$ 性质”，求 $m$ 的取值范围.

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18、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$ 两点，圆心在直线 $x + y - 4 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $P$ 是圆 $C$ 上一动点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的范围；

(3)、已知 $M$ 为 $A P$ 的中点，若 $△ M A B$ 的面积为2，求直线 $A P$ 的方程.

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19、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点， $A P ⊥$ 面 $P C D$ .

(1)、证明：直线 $M N / /$ 面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求 $A P$ .

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20、已知两点 $F (0, 2)$ ， $T (0, 3)$ ，过点 $F$ 的直线与直线 $y = x$ ， $y = - x$ 的交点分别为 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $A T$ 与直线 $y = - x$ 交于 $C$ 点，直线 $B T$ 与直线 $y = x$ 交于 $D$ 点，

(1)、当 $2 |B F| = |F A|$ 时，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、判断直线 $C D$ 是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由.

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