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相关试卷

1、已知 $A = \{x |2 x - 3 > 0\}$ ，则有（）

A、 $1 \in A$ B、 $2 \subseteq A$ C、 $\{3\} \in A$ D、 $\{4\} \subseteq A$

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2、如图，在棱长为1的正方体 $O A B C - O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的中点.

(1)、求证： $A^{'} F ⊥ C^{'} E$ ；

(2)、求三棱锥 $B - B^{'} E F$ 的体积；

(3)、求平面 $A^{'} E F$ 与平面 $B^{'} E F$ 的夹角的余弦值.

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3、已知 $\cos (α + β) = \cos α + \cos β$ ，则 $\cos α$ 的最大值为．

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4、若异面直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (0, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (4, 0, 2)$ ，则异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角的余弦值为．

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，若点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是.

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6、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2} x + y - 4 = 0$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 的蒙日圆上一动点， $M A$ ， $M B$ 分别与椭圆相切于A， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、记点A到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - |A F_{2}|$ 的最小值为0 C、一矩形四条边与椭圆 $C$ 相切，则此矩形面积最大值为 $4 \sqrt{3}$ D、 $△ A O B$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心 $O$ 且与太阳平行光线垂直的平面为 $α$ ，地面所在平面为 $β$ ，篮球与地面的切点为 $H$ ，球心为 $O$ ，球心 $O$ 在地面的影子为点 $O^{'}$ ；已知太阳光线与地面的夹角为 $θ$ ；如图， $A B$ 为球 $O$ 的一条直径， $A^{'}, B^{'}$ 为 $A, B$ 在地面的影子，点 $H$ 在线段 $A^{'} B^{'}$ 上，小明经过研究资料发现，当 $θ \neq \frac{π}{2}$ 时，篮球的影子为一椭圆，且点 $H$ 为椭圆的焦点，线段 $A^{'} B^{'}$ 为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（）（用 $θ$ 表示）.

A、 $\cos θ$ B、 $\sin θ$ C、 ${cos}^{2} θ$ D、 $\frac{cos θ}{sin θ}$

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8、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ；若直线 $L : y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则下面哪个 $k$ 值不符合（）

A、 $\frac{- 2 \sqrt{5}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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9、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有（）个点到直线 $l : y = x + \sqrt{2}$ 的距离等于1.

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b]$ （ $a < b$ ， $I \subseteq D$ ），若满足以下两条性质之一，则称 $f (x)$ 在区间 $I$ 上具有 $T$ 性质.
性质1：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \in I$ ；
性质2：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \notin I$ .

(1)、分别判断下列两函数在区间 $[0, 3]$ 是否具有 $T$ 性质；
① $y = 3 - \frac{1}{2} x$ ；② $y = x + \frac{1}{x}$ ；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ 在区间 $[0, m]$ （ $m > 0$ ）具有 $T$ 性质，求 $m$ 的取值范围

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11、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意实数 $m \in [- 1 ， 1]$ ， $f (m) + f (m^{2} - 2^{t}) < 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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12、求值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 9.6)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(1.5)}^{- 2}$

(2)、 $2^{{log}_{2} 3} + 2 {log}_{3} 1 - 3 {log}_{7} 7 + 3 ln 1$

(3)、 ${log}_{25} \frac{1}{2} \cdot {log}_{4} 5 - {log}_{\frac{1}{3}} 3 - {log}_{2} 4 + 5^{{log}_{5} 2}$

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13、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 2\}$ ，集合 $B = \{x | x > 1\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ， $(∁_{R} B) \cap A$ ；

(2)、设集合 $M = \{x | a < x < a + 6\}$ ，且 $A \cup M = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使 $x_{0}^{2} + m x_{0} + 2 m + 5 < 0$ ”是假命题，其实数 $m$ 的取值为集合A，设不等式 $(x - a + 1) (x - 1 + 2 a) < 0$ 的解集为集合B，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．

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15、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 1$ 在 $[1, 3]$ 上的值域为.

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16、已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 1 - b (a > 0)$ ， $g (x) = k \cdot 2^{x}$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值为9，最小值为1．函数 $g (x)$ 与函数 $f (x)$ 图象在 $[- 1, 2]$ 上有两个不同的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $a = 1$ B、 $b = 1$ C、 $0 < k \leq \frac{1}{2}$ D、 $0 < k \leq \frac{3}{4}$

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17、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $x^{2} > x - 1$ ” 的否定是“ $\exists x \leq 0$ ，使得 $x^{2} \leq x - 1$ ” B、当 $x > 1$ 时， $2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 $\{x | - 1 < x < 2\}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ” 是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的必要不充分条件

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18、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ 的解集中恰有2个整数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | - 2 \leq a < - 1$ 或 $3 < a \leq 4}$ B、 ${a | - 2 \leq a \leq - 1$ 或 $3 \leq a \leq 4}$ C、 ${a | - 1 < a < 0$ 或 $2 < a < 3}$ D、 ${a | - 1 \leq a \leq 0$ 或 $2 \leq a \leq 3}$

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19、设 $a = 3^{9.7}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8}$ ， $c = 4^{0.8}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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20、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点， $N$ 是 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明：直线 $M N ⊥ B C$ ；

(3)、求平面 $M N A$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值．

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