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相关试卷

1、对于数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2)$ ，定义点集 $B = \{(x, y) ∣ x \in A, y \in A\}$ ，若对任意 $(x_{1}, y_{1}) \in B$ ，都存在 $(x_{2}, y_{2}) \in B$ 使得 $x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = 0$ ，则称数集 $A$ 是“正交数集”.

(1)、判断以下三个数集 $\{- 1, 1\} ､ \{- 1, 2, 3\} ､ \{- 1, 1, 4\}$ 是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；

(2)、若 $a > 4$ ，且 $\{- 2, 2, 4, a\}$ 是“正交数集”，求 $a$ 的值；

(3)、若“正交数集” $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{2024}\}$ 满足： $a_{1} = - 3, 0 < a_{2} < a_{3} < \dots < a_{2024}, a_{2024} = 1012$ ，求 $a_{2}$ 的值（需说明理由）

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2、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 6 x + a = 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} - b x + 2 = 0\}$ .

(1)、若集合A中恰有一个元素，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $(∁_{U} A) \cap B = \{2\}$ ，求 $A \cup B$ .

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3、已知不等式 $a x^{2} + (a + 2) x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则函数 $y = \sqrt{a x^{2} + c x}$ 的定义域为.

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4、关于 $x$ 的不等式 $|x - a| \leq 2$ 成立的必要不充分条件是 $- 3 < x \leq \frac{31}{6}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $4 - a + \frac{9}{4 - a}$ 的最小值为6 B、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + a + 1 \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ C、关于 $x$ 的不等式 $(x - a) (x - 8) < 0$ 的解集中整数解最少3个 D、 $\{x ∣ x \leq a + 1\} \cup \{x |x \geq 2 a - \frac{13}{6}\} = R$

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5、洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（ $1 \leq m \leq 4$ ，且 $m \in R$ ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为 $y = m \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{16}{8 - x}, 0 \leq x \leq 4 \\ 5 - \frac{x}{2}, 4 < x < 10 \end{array}$ ，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．

(1)、若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(2)、若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值．

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + m - 1$ （ $m \in R$ ），

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在 $[- 1, 2)$ 上不单调，求 $m$ 的取值范围.

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最小值为 $g (m)$ ，求函数 $g (m)$ 的最大值.

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7、已知集合 $A = \{x \in R |x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ， $B = {x \in R | \frac{x + 2}{x - 1} > 0}$ ，全集 $U = R$

(1)、求： $A \cap B$ ； $A \cup (∁_{U} B)$

(2)、若 $C = \{x \in R |2 m < x < 1 - m\}$ ，且 $A \cap C = C$ ，求m的取值范围.

(3)、若 $D = \{x \in R |x^{2} - a x - 2 = 0\}$ ，且 $D \cup (∁_{U} B) = ∁_{U} B$ ，求a的值.

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8、化简：

(1)、 ${(\frac{9}{25})}^{- \frac{1}{2}} - 8^{\frac{2}{3}} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + \frac{1}{3}$

(2)、 $\frac{\sqrt{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a}}}{\sqrt[3]{a^{2}}}$ （ $a > 0$ ）

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9、已知函数 $y = x + \frac{a^{2}}{x}$ （ $a > 0$ ）在 $(- \infty, - a)$ 和 $(a, + \infty)$ 上单调递增，在 $(- a, 0)$ 和 $(0, a)$ 上单调递减．若函数 $f (x) = x + \frac{t}{x}$ （ $t > 0$ ）在正整数集合 $Z$ 内单调递增，则实数t的取值范围为．

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10、已知函数 $f (x) = 3 m x - 4$ ，若 $f (x) = 0$ 在 $[- 2, 0]$ 上有解，则m的取值范围是．

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11、 ${0.3}^{\frac{1}{3}}$ ${0.2}^{\frac{1}{3}}$ （填“＞”或“＝”或“＜”）

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (1 - 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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13、若 $x > m^{2} - 2$ 的充分不必要条件是 $0 < x < 1$ ，则实数m的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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14、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， 2x为偶数 C、所有菱形的四条边都相等 D、每个二次函数的图象都是轴对称图形

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15、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} (|x - a^{2}| + |x - 2 a^{2}| - 3 a^{2})$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x - 1) \leq f (x)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{6}, \frac{1}{6}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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16、已知x，y均为正实数，且 $x + 2 y = 2$ .则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 y + 1}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、若 $a < 0$ ，则关于x的不等式 $a (x + 2) (x + \frac{1}{a}) < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |\frac{1}{a} < x < 2\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{a}\}$ C、 $\{x |x > - \frac{1}{a} 或 x < - 2\}$ D、 $\{x |x > - 2 或 x < - \frac{1}{a}\}$

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18、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足 $c < b < a$ ，且 $a + c = 0$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $c b^{2} < a b^{2}$ B、 $a (b - a) < 0$ C、 $a c (a - c) > 0$ D、 $a b > c^{2}$

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19、下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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20、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 x + 1, x < 1 \\ x^{2} + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、5

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