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相关试卷

1、集合 $A = \{x \in N| \frac{12}{x} \in N\}$ 的子集的个数为（）

A、64 B、16 C、6 D、4

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2、复数 $(1 + i) (4 - i)$ 的虚部为（）

A、 $5 i$ B、 $3 i$ C、5 D、3

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3、在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 $n$ 个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T， $P_{n} (T = k)$ 表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率．

(1)、求 $P_{10} (T = 2)$ 和 $P_{10} (T = 3)$ 的值；

(2)、若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 $P_{n}$ （用n表示）．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + b}{2 e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对任意的实数m，直线 $y = x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 恰有一个公共点，求实数b的取值范围；

(3)、若 $a = 1, 0 < b \leq 2, 0 < c \leq 2$ ．证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $2 f (x) + \frac{1}{e^{x}} \leq e^{x} (3 - c \sin x)$ ．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x，y轴于 $A (x_{0}, 0)$ 和 $B (0, y_{0})$ ．
（i）求 $△ O A B$ 面积的最大值；
（ii）当点M运动时，求点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的轨迹方程．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 的中点，F为线段 $B C$ 上的动点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若直线EC与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $B F$ ．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ．

(1)、求证：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面 $A B C_{1} D_{1}$ ，平面 $A_{1} B C D_{1}$ 均相切，②与棱 $A A_{1}$ 相切（即与棱 $A A_{1}$ 仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为．

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9、已知 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ ，若直线 $x - y + c = 0$ 上存在点P满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则实数c的最大值是．

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10、已知向量 $\vec{a}$ =（2，6）， $\vec{b}$ = $(- 1, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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11、已知函数 $f (x) = \tan (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})$ ，关于x的不等式 $[f (x) - a] \cdot [f (x) - a - t] \leq 0 (t > 0)$ 在区间 $(0, 2026)$ 内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（）

A、若 $a = t = 1$ ，则 $n = 338$ B、若 $t = 1$ ，则n的最小值为338 C、若存在实数a，使 $n = 676$ ，则t的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在实数t，使 $n = 676$ ，则a的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知 $\{z_{n}\}$ 是由复数组成的数列， $z_{n + 1} = (z_{n} - 3) \cdot i^{2026}$ （i为虚数单位），且 $z_{1} = 1 + i$ ，则（）

A、 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{1 + 3 i}{2}$ B、 $z_{2} + z_{3} = 3$ C、 $|z_{1} - z_{2} + z_{3} - z_{4} + \dots - z_{2026}| = 1013 \sqrt{5}$ D、若 $|z - z_{2025}| = 1$ ，则 $|z - z_{2026}|$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$

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13、下列说法正确的是（）

A、数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B、对于随机事件A与B，若 $P (\bar{B}) = 0.3, P (B |A) = 0.7$ ，则事件A与B相互独立 C、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ 的平均值为9，极差为14，中位数为11 D、若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1

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14、已知直线 $y = a x + b$ 与函数 $y = \ln x + \sqrt{x}$ 的图象相切，若 $a \in (0, \frac{1}{2}]$ ，则实数 $b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\ln 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ D、 $2 \ln 2$

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S = \sqrt{2} a \sqrt{|A N| \cdot |B N|}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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16、已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{3 - 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}{3 + 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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17、若数列 $\{x_{n}\}$ 满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为“ $k -$ 等差数列．已知 $\{a_{n}\}$ 为“ $2 -$ 等差数列，且 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ，则 $a_{11} =$ （）

A、91 B、111 C、121 D、133

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18、为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为 $3 {.6kg/m}^{3}$ ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 $0 {.08kg/m}^{3}$ ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} - c^{2} = b c = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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20、已知a，b为实数，则“ $a < b < 0$ ”是“ $a b < a^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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