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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，M是PD的中点．

(1)、求证： $A M ⊥ P C$ ；

(2)、求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值．

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2、国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了 $200$ 人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
$80$
$b$
$150$
不爱好运动
$c$
$10$

合计

$200$

(1)、求 $b, c$ 的值，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；

(2)、在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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3、在直角三角形ABC中， $A C = 2, B C = 1$ ， D为斜边AB上一点，若 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 的内切圆面积相等，则 $B D =$ ．

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， P是双曲线上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则C的离心率为．

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5、在 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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6、已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $h (x) = \{\begin{cases} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{cases}$ ，则（）

A、当函数 $f (x), g (x)$ 均为奇函数时， $h (x)$ 为奇函数 B、当函数 $f (x), g (x)$ 均为增函数时， $h (x)$ 为增函数 C、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最小值时， $h (x)$ 有最小值 D、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最大值时， $h (x)$ 有最大值

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7、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是边长为1的菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $C A_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ，则（）

A、平面 $C_{1} B D / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B D ⊥ C C_{1}$ C、 $A C_{1} = \sqrt{3}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{4} = 7, S_{3} = 9$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2 n} = 2 a_{n} - 1$ C、 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列 D、 $\{S_{2^{n}}\}$ 为等比数列

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9、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与对称轴的交点为 $C (- 2, 0)$ ，直线 $2 x - y - 8 = 0$ 与抛物线交于A，B两点，则 $△ A B C$ 的外接圆在x轴上截得的弦长为（）

A、 $\frac{34}{3}$ B、12 C、 $\frac{38}{3}$ D、 $\frac{98}{3}$

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10、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，设甲： $α + β > \frac{π}{2}$ ，乙： $\cos α + \cos β < 1$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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11、已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ，则（）

A、 $P_{1}$ 最大 B、 $P_{2}$ 最大 C、 $P_{3}$ 最大 D、 $P_{1} = P_{2} = P_{3}$

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12、已知函数 $y = f (x) (x > 0)$ 的图象如图所示，则其解析式可能为（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 - x^{- 1}$ C、 $y = \log_{2} (2 x)$ D、 $y = 3 - 2^{2 - x}$

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ．若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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14、已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 C、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递减

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15、复数 $\frac{5}{- 2 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $- 2 - i$

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16、设集合 $A = {x ∣ x < a}, B = {x ∣ 1 < x < 2}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \leq 2$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \geq 2$

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17、已知曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与点 $P (\sqrt{5}, 0)$ ， O为原点，动点 $Q \in E$ ，且 $∠ O P Q$ 的最大值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、已知有 $n + 1$ 个点 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ 按逆时针顺序依次在E上，且 $A_{0} (2, 0)$ ， $A_{n} (- 2, 0)$ ．
（ⅰ）当 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 关于y轴对称，且 $△ O A_{1} A_{3}$ 的面积为1时，求直线 $A_{2} A_{3}$ 的斜率；
（ⅱ）当 $△ O A_{k - 1} A_{k} (1 \leq k \leq n)$ 的面积都相等时，记多边形 $A_{0} A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ 的周长为 $C_{n}$ ．若对于 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $C_{n} < λ$ ，求整数 $λ$ 的最小值．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{sin (A + C)}{sin (A - C)} = \frac{a^{2} + c^{2} + a c}{a^{2} - c^{2}}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $c = 1$ ，点D在AC上，直线BD上一点P满足 $\vec{C B} \cdot \vec{C P} = \vec{C D} \cdot \vec{C P}$ ，在点C和点D的变化过程中，
（ⅰ）求 $P A^{2} + P C^{2}$ 的最小值；
（ⅱ）当 $P A^{2} + P C^{2}$ 最小时，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B D}$ 的值．

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19、在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为 $+ 1$ 个单位，向“负方向姿态修正一次”记为 $- 1$ 个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.

(1)、求6次姿态修正后达到 $+ 2$ 个单位的概率；

(2)、以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到 $+ 2$ 个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到 $- 2$ 个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 $E (X)$ ．

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20、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{b}{x}$ ， $b \in (0, 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求b的值；

(2)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围．

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体质情况组别	合格	良好及以上	合计
爱好运动	$80$	$b$	$150$
不爱好运动	$c$	$10$
合计			$200$

$α$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$6.635$	$10.828$