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相关试卷

1、阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点 $M$ 到点 $A (- 1, 0)$ 与点 $B (2, 0)$ 的距离之比为2，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）过点 $P (5, - 4)$ 作曲线 $C$ 的切线，求切线方程.

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2、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 1$ ， $E$ 为 $A D$ 中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A D ⊥ D_{1} F$ ；

(2)、求 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} F$ 成角的余弦值.

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3、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (5, 1)$ ， $B (7, - 3)$ ， $C (- 8, 2)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上的高所在的直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的标准方程．

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4、已知直线 $y = k (x + 4) + 2$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}} + 2$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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5、直线 $l_{1} : x + 2 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + 4 y - 1 = 0$ 之间的距离为．

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6、点 $P (1, 0)$ ，点 $Q$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的一个动点，则线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$ C、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 4$

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7、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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8、已知直线 $l_{1} : m x + y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (4 m - 3) x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、1 C、1或3 D、0或 $\frac{1}{3}$

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9、设 $\overset{⃑}{a} = (1, y, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 1, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $y$ 等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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10、某厂生产某种零件，每个零件的成本为 $30$ 元，出厂单价定为 $52$ 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 $100$ 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 $0.02$ 元，但实际出厂单价不能低于 $41$ 元.

(1)、当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

(2)、设一次订购量为 $x$ 个，零件的实际出厂单价为 $P$ 元，写出函数 $P = f (x)$ 的表达式；

(3)、当销售商一次订购 $500$ 个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

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11、已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a, b \in R)$ ，且 $f (1) = 2, f (- 2) = - \frac{5}{2}$ .

(1)、 $f (x)$ 的解析式，并写出其定义域；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减.

(3)、若对任意 $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，不等式 $x^{2} - c x + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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12、（1）已知 $f (x + 1) = x^{2} - x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知函数 $f (x)$ 是二次函数，且 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 4 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 2, f (x) < 0$ 解集为 $\{x | - 2 < x < 1\}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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14、已知指数函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(- 1, \frac{1}{3})$ .

(1)、若 $f (a) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x - 1) > f (- x)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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15、函数 $y = \frac{2}{x + 1}$ 在 $[2, 3]$ 上的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、已知集合 $A = \{x | x - 2 > 0\}, B = \{x | 2^{x} - 2 \geq 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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17、如图（1），平面四边形 $A B C D$ 由正三角形 $A B D$ 和等腰直角三角形 $B C D$ 组成，其中 $B D = 2$ ， $∠ B D C =90 °$ ．现将三角形 $A B D$ 绕着 $B D$ 所在直线翻折到三角形 $P B D$ 位置（如图（2）），且满足平面 $P B D ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ \vec{P D} (λ \in (\frac{1}{2}, 1))$ ，当平面 $B C Q$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{31}}{31}$ 时，求 $λ$ 的值．

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18、如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $C C_{1} = 3$ ， $C D = 2$ ，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = 60 °$ .
（1）设 $\overset{⃑}{C D} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{C C_{1}} = \overset{⃑}{c}$ ，试用 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ 表示 $\overset{⃑}{A_{1} C}$ ；
（2）已知 $O$ 为四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心（体对角线中点），求 $O C$ 的长.

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19、已知 $\vec{a} = (3, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 2)$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、当 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ 时，求实数k的值．

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20、某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为 $α$ 、 $β$ ，则 $tan α + tan β$ 的最小值为.

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