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相关试卷

1、现从一含10个元素的集合 $S$ 的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.

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2、函数 $f (x) = |ln x| + 2 x$ 的最小值为.

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3、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 上的动点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，且 $|P A| + |P B| = 6$ ，则 $n =$ .

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4、如图，在 $4 \times 4$ 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如：
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
下列 $4 \times 4$ 的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（）

A、
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
B、
4
2
4
3
1
1
1
1
2
4
2
2
4
3
3
3
C、
3
4
4
4
1
3
1
1
2
2
2
2
4
1
3
3
D、
4
4
1
3
4
3
4
1
3
2
1
2
2
1
2
3

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5、如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，轴截面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $M$ 是以 $A O_{2}$ 为直径2的圆上一动点（异于点 $A, O_{2}$ ）， $A M$ 与圆柱的底面圆交于点 $N$ ，则（）

A、 $M O_{2}$ $∥$ 平面 $N B O_{1}$ B、平面 $M O_{1} O_{2} ⊥$ 平面 $A N O_{1}$ C、直线 $N B$ 与直线 $A O_{1}$ 有可能垂直 D、三棱锥 $M - A O_{1} O_{2}$ 的外接球体积为定值

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6、某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（）

A、总体每次训练平均耗时1.8小时 B、总体每次训练平均耗时1.75小时 C、总体每次训练耗时的方差为0.28 D、总体每次训练耗时的方差为0.33

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7、如图， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A, B$ 都在双曲线 $C$ 上，四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 为等腰梯形，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = |B F_{2}| = 2 c$ ， $∠ A B F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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8、函数 $y = sin 2 x$ 与 $y = sin \frac{x}{2}$ 的图象在区间 $[- 2 π, 2 π]$ 上的交点个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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9、已知数列 $\{{log}_{2} a_{n} + 1\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为（）

A、 $2^{10} - 1$ B、 $\frac{4^{10} - 1}{3}$ C、 $2^{11} - 2$ D、 $\frac{2^{21} - 2}{3}$

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10、若 $sin α = cos α + \frac{3}{5}$ ，则 $tan α + \frac{1}{tan α} =$ （）

A、 $\frac{8}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{25}{16}$

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11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均在格点上，则向量 $\vec{b} + \vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a}, x \geq 0, \\ a^{x}, x < 0, \end{matrix}$ 且 $f (16) = 2$ ，则 $f (- 1) =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ . B、 $\frac{1}{4}$ . C、2. D、4.

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13、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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14、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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15、给定正整数 $n \geq 3$ ，考虑集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有排列 $π = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，对每个 $1 \leq i \leq n - 1$ ，定义： $d_{i} = min \{|a_{i} - a_{j}|, j > i\}$ ，并规定 $d_{n} = 0$ .记 $S_{m}$ 为所有排列中 $\sum_{i = 1}^{m} d_{i}$ 的最大值.

(1)、对于排列 $π = (1, 3, 2, 4)$ ，计算 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i}$ ，再直接写出 $S_{3}$ 和 $S_{4}$ 的值，并分别给出一个满足 $\sum_{i = 1}^{3} d_{i} = S_{3}$ 的排列和一个满足 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i} = S_{4}$ 的排列；

(2)、对任意整数 $k \geq 3$ ，证明： $S_{2 k} \geq k - 1 + S_{k} + S_{k + 1}$ ；

(3)、证明： $S_{2049} \geq 13312$ .

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16、已知函数 $f (x) = x - a ln (1 + x)$ ， $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上存在零点 $x_{0},$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) > f^{'} (x_{0})$ .

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A C = P C$ ， $∠ A C P = 120 °$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D P}$ ，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心.

(1)、证明： $G D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $B G D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的正切值.

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18、双曲线 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线的左支、右支分别交于点 $A, B$ ，当直线 $l$ 与 $y$ 轴垂直时， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C^{'}$ 的方程；

(2)、点 $C (12, 0)$ 满足 $C B ∥ O A$ ，其中 $O$ 是坐标原点，求四边形 $O A B C$ 的面积.

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19、某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率 $\frac{7}{8}$ ，色准检测通过率 $\frac{4}{5}$ .产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X.

(1)、求单件产品为合格品的概率；

(2)、求X的分布列及数学期望；

(3)、已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至 $\frac{9}{10}$ ，但每件成本增加1元.是否值得改进？

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20、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形，三棱锥 $P - A B D$ 为正四面体，则三棱锥 $P - A B D$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的外接球半径之比为.

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