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相关试卷

1、如图1，已知球O的半径 $R = \sqrt{3}$ ．在球O的内接三棱锥 $D - A B C$ 中． $D B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = \sqrt{2} B C$ ， $B D = \sqrt{6}$ ． P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面 $O B C$ 与平面 $G P Q$ 夹角的余弦值的最大值为．

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{2} \frac{1}{3})$ 的值为．

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3、甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ，则目标至少被击中1次的概率为．

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4、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对任意实数x，y，恒有 $[f (x) + 1] \cdot [f (y) + 1] = f (x + y) + 1$ ，若 $f (1) = 1$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ C、 $f (x)$ 为R上的增函数 D、关于x的不等式 $f (x) + f (2 - x) > 3$ 的解集为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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5、已知动点P到定点 $F (0, 1)$ 的距离与到定直线 $l : y = 3$ 的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）

A、曲线C的轨迹方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(4 - |y - 3|)}^{2}$ B、曲线C的图象关于y轴对称 C、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 在曲线C上，则 $- 2 \sqrt{3} < x_{0} < 2 \sqrt{3}$ D、曲线C上的点到直线 $\sqrt{3} x - y - 15 = 0$ 的距离的最大值为12

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的振幅为 $\pm 2$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上单调递增 D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为 $[1, 2)$

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7、若直线 $y = k x + 1$ （k为常数）是曲线 $y = \ln x + 1$ 和曲线 $y = a e^{x} + 1$ 的公切线，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e^{2}}$ C、1 D、e

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8、 $(\frac{1}{x^{2}} - 2) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中的常数项是（）

A、12 B、8 C、 $- 8$ D、 $- 12$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 3$ ，三角形ABC的面积为6，则 $a =$ （）

A、65 B、17 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{65}$

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10、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{6 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，设 $p : 2 < t < 3$ ， q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一点，若 $\vec{B D} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、已知 $\sin (\frac{π}{4} - θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、若 $1 - b i = (1 - i) (2 + a i)$ （a， $b \in R$ ， i为虚数单位），则 $a + b$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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14、已知集合 $A = \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1\}$ ， B= $\{x | - 4 ＜ x ＜ 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{x | - 4 ＜ x ＜ 1\}$ C、 $\{- 3, - 2, - 1, 0\}$ D、 $\emptyset$

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15、某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额 $X_{n} (1 \leq n \leq 6)$ 的数学期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $E (X_{1})$ 及 $X_{2}$ 的分布列．

(2)、写出 $E (X_{n})$ 与 $E (X_{n - 1}) (n \geq 2)$ 的递推关系式，并证明 $\{E (X_{n}) + 50\}$ 为等比数列；

(3)、若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据： ${1.26}^{6} \approx 2.986$ ）

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + \ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值 $g (a)$ ．

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17、已知平面内两个定点A，B及动点P，若 $\frac{|P B|}{|P A|} = λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知 $O (0, 0)$ ， $Q (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，直线 $l_{1}$ ： $k x - y + 2 k + 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x + k y + 3 k + 2 = 0$ ，若P为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点，则 $\frac{3}{2} |P O| + |P Q|$ 的最小值为．

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18、 $(x - 1) {(x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2, B C = \sqrt{3}, A A_{1} = 1, P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $Q$ 为底面 $A B C D$ 上（含边界）的一动点.记点 $Q$ 轨迹的长度为 $L$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $P Q ⊥ B_{1} C$ ，则 $L = 2$ B、若 $P Q$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则 $L = \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、若 $P Q = \sqrt{2}$ ，则 $L = π$ D、若 $C$ 到平面 $A_{1} P Q$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $L = 2$

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20、已知函数 $f (x) = sin x + |cos 2 x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的最小值是 $- 2$ C、存在唯一实数 $a \in (0, 2)$ ，使得 $f (x + a)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有3个极大值点

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