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相关试卷

1、在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $B D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、0

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2、已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a},$ $B = {x | - 2 < x < 4}$

(1)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 < 0$

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4、不透明的口袋中装有编号分别为 $1, 2, \dots, n (n \geq 2, n \in N^{*})$ 的 $n$ 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 $r$ 次，每次取1个球，记取出的 $r$ 个球的最大编号为随机变量 $X$ ，则称 $X$ 服从参数为 $n, r$ 的“ $B M$ ”分布，记为 $X \sim B M (n, r)$ .

(1)、若 $X \sim B M (2, 2)$ ，求 $P (X = 2)$ ；

(2)、若 $X \sim B M (4, m)$ ，且 $E (X) \geq \frac{13}{4}$ ，求 $m$ 的最小值；

(3)、若 $X \sim B M (n, n)$ ，求证： $\forall n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ， $E (X) > n - 1$ .

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $Q (- 4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $Q$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与 $C$ 相交于两点E，F（ $E$ 在 $F$ 的左侧）.设直线 $A E$ ， $A F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线 $A F$ ， $B E$ 相交于点 $M$ ，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值.

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线为 $l$ ，求 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 的公共点个数；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < e^{2} + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有种（用数字作答）.

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8、若圆心在 $x$ 轴上的圆 $C$ 与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 相切于点 $A (1, 2)$ ，则圆心 $C$ 的坐标为.

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x + 2 k) = (k + 1) f (x) (k \in Z)$ ，且 $f (x) = x |x - a|$ ， $a > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、若 $a = 2$ ，则 $f (- 99) = - 50$ C、若 $a = 1$ ，则 $g (x) = f (x) - \frac{2}{3} (x + 1)$ 在 $[- 6, 6]$ 上恰有5个零点 D、若 $\forall k \in N^{*}$ ， $f (x)$ 在区间 $[2 k - 2, 2 k]$ 有最大值，则 $4 \sqrt{2} - 4 \leq a < 4$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = \frac{1}{8}$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = - 3 a_{n + 1} a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{14}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{17 - 3 n}$ C、 $a_{n} \geq a_{7}$ D、 $S_{10} < 0$

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11、某研究所研究耕种深度 $x$ （单位： $cm$ ）与水稻每公顷产量 $y$ （单位： $t$ ）的关系，所得数据资料如下表：
耕种深度 $x / cm$
8
10
12
14
16
每公顷产量 $y / t$
6.0
7.5
7.8
9.2
9.5
经计算可知每公顷产量 $y$ 与耕种深度 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.435 x + \hat{a}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、每公顷产量与耕种深度呈负相关 B、耕种深度的平均数为12 C、每公顷产量的平均数为7.8 D、 $\hat{a} = 2.78$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 的右支上，且 $\vec{M F} = 3 \vec{F N}$ ，点 $N$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $P$ .若 $P F ⊥ M N$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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13、在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2 C D = 2$ ， E是线段 $A D$ 中点， $F$ 是线段 $B E$ 上的动点，则 $\vec{F B} \cdot \vec{F C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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14、已知 $a = {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{4} 3$ ， $c = \frac{3}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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15、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ， $∁_{U} B = \{3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\emptyset$

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16、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足条件：
① $\forall x_{1}, x_{2} > 0$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ ；
② $f (x) - f (- x) = 0$ ；
③ $f (- 3) = 0$ ，
则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集是.

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17、下列各组函数表示的是不同函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \cdot \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x + 1$ 与 $g (x) = x + x^{0}$ D、 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

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18、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$ 的单调递增区间为.

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19、为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.

(1)、求甲两轮测试总分为30分的概率；

(2)、求乙在第一轮测试中得40分的概率；

(3)、试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？

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20、把函数 $y = cos x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $cos (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ D、 $cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$ .

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耕种深度 $x / cm$	8	10	12	14	16
每公顷产量 $y / t$	6.0	7.5	7.8	9.2	9.5