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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (1 + k) ln (1 + x)$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 的切线方程；

(2)、设 $F (x) = f (x) - x - 2$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的最大值为 $G (k)$ ，求 $G (k)$ ，并判断函数 $G (k)$ 的零点个数.

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2、已知椭圆与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有一个相同的焦点 $F_{2} (1, 0)$ ，椭圆的长轴长为2p．

(1)、求椭圆与抛物线的方程；

(2)、P为抛物线上一点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，直线 $P F_{1}$ 交椭圆于A，B两点，直线 $P F_{2}$ 与抛物线交于P，Q两点，求 $\frac{|A B|}{|P Q|}$ 的最大值．

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3、数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} S_{n} - a_{n}^{2} = 1$
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{2}{4 S_{n}^{4} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并求使 $T_{n} > \frac{1}{6} (m^{2} - 3 m)$ 对所有的 $n \in N *$ 都成立的最大正整数m的值．

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4、“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》．“规”指圆规，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较短边为5cm，如图所示，三角形顶点A，B，C都在圆周上，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $c = 4 \sqrt{5}$ cm．

(1)、求 $sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为8cm² ，且 $a > c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、在二项式 ${(x + \frac{1}{a \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式中，前三项的二项式系数之和为79.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{128}$ ，求实数 $a$ 的值.

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6、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x + 4)$ ， $f (2024) = \frac{1}{e^{2}}$ ，若 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x + 2) > e^{x}$ 的解集为.

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7、如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 $2 \sqrt{6}$ ，则模型中九个球的体积和为.

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8、4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有种排法．

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9、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 5, \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 3$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| =$ .

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10、已知函数 $f (x) = \ln | e x | - x + \frac{1 - x}{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ B、 $f (x)$ 恰有2个零点 C、 $f (x)$ 既有最大值，又有最小值 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ B、 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减 C、 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、存在实数 $x$ 满足 $f (x + 2) + f (- x) = 0$

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12、如图所示，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 $F_{1} B$ 的中点，且 $F_{1} B ⊥ F_{2} B$ ，则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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13、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则 $f (1) + f (4)$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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14、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} = 3 a_{11}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{9}{8}$

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15、5名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项比赛无并列冠军），则不同的结果种数为（）

A、 $5^{3}$ B、 $3^{5}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $C_{5}^{3}$

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16、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（）

A、 $6 x - 2 y + 3 = 0$ B、 $x + 3 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 2 y + 3 = 0$ D、 $x - 3 y - 1 = 0$

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17、已知 $z = \frac{2 i - 4}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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18、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ .当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)、求 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数；

(2)、证明： $sh (x) \geq x$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 上恒成立；

(3)、求 $f (x) = sh (x) - \sin x - \frac{1}{3} x^{3}$ 的零点.

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19、如图，在斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $60 °$ ，定义向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 在该斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为有序数对 $(x, y)$ ，记为 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} = (x, y)$ .在斜坐标系 $x O y$ 中，完成如下问题：

(1)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (5, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若斜坐标系 $x O y$ 中 $\vec{m} = (4, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 2, 3)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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20、五面体 $A B C - A_{1} D C_{1}$ 为直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去一个三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C_{1}$ 后得到的几何体， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A_{1} D$ 的中点.点 $E$ 满足 $\vec{C_{1} E} = λ \vec{C_{1} D}$ $(0 \leq λ \leq 1)$ 上.

(1)、若 $B F ⊥ C E$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $P$ 是线段 $A C$ 的中点，求平面 $A B C$ 与平面 $P B F$ 夹角的正弦值.

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