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相关试卷

1、由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表：
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男性
30
70
100
女性
60
40
100
合计
90
110
200

(1)、根据以上数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？

(2)、将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为 $X$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前99项和 $T_{99}$ .

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在第一象限的交点为 $P$ ，椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ， $\vec{O P}$ 在 $\vec{O F}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{5}}{2} \vec{O F}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为；双曲线 $E$ 的渐近线方程为.

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4、函数 $f (x) = x + \frac{5}{x} + 2$ 的所有极值之和为.

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5、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间 $x$ 与数学成绩 $y$ 进行数据收集如表：
$x$
15
16
18
19
22
$y$
102
98
115
$m$
120
若由表中样本数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 3.1 x + 54.2$ ，则实数 $m =$ .

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6、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{3} = x^{2} y^{2}$ 就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于坐标原点对称 B、曲线 $C$ 上的点到原点的最大距离为 $\frac{1}{2}$ C、四叶草曲线 $C$ 所围的区域面积大于 $\frac{π}{4}$ D、四叶草曲线 $C$ 恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

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7、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, 2)$ ，定义函数 $f (x)$ 为 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (1) + f (- 1) = 1$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数 D、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (2 x) = 2 f (x)$

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8、集合 $A = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ， $B = \{a, a^{2}\}$ .若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 可取值（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- 1$ D、0

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9、已知 $a = 0.02$ ， $b = e^{- 0.96}$ ， $c = \ln 1.03$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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10、 ${(3 x - y)}^{n}$ 的展开式中各项系数和为32，则展开式中含 $x^{2} y^{3}$ 的项是（）

A、 $- 90 x^{2} y^{3}$ B、 $90 x^{2} y^{3}$ C、 $- 180 x^{2} y^{3}$ D、 $180 x^{2} y^{3}$

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11、你正在做一道选择题，假设你会做的概率是 $\frac{2}{3}$ ，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为 $\frac{9}{10}$ ；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是 $\frac{1}{4}$ ，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（）

A、 $\frac{41}{60}$ B、 $\frac{17}{20}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{59}{60}$

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12、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = f^{'} (0) \cdot x^{2} - x$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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13、下列说法正确的是（）

A、某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B、数据 $2$ ， $3$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ ， $8$ ， $10$ ， $12$ 的第80百分位数为8 C、线性回归分析中，样本相关系数 $r$ 的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D、线性回归模型分析中，模型的决定系数 $R^{2}$ 越小，模型的拟合效果越好

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14、函数 $f (x) = 2 x - \ln x$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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15、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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16、角谷猜想，也称为“ $3 n + 1$ ”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数 $a_{0} (a_{0} \geq 2)$ ，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为 $a_{1}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $a_{2}$ ， …，实施第 $n - 1$ 次运算后的结果记为 $a_{n - 1}$ ，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}$ ， 1，其递推关系式为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} 3 a_{k} + 1 & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix} (k = 0,1, 2, \dots, n - 1), a_{0}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的原始项.将此递推关系式推广为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} |λ a_{k} + 1| & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix}$ （ $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1; λ \in Z$ ，且 $λ \neq 0$ ），其它规则不变，得到的数列记作 $\{λ ∼ a_{n}\}$ 数列，试解答以下问题：

(1)、若 $a_{0} = 5$ ，则数列 $\{3 ∼ a_{n}\}$ 的项数为______；

(2)、求 $\{- 1 ∼ a_{n}\}$ 数列的原始项 $a_{0}$ 的所有可能取值构成的集合；

(3)、若对任意的 $\{1 ∼ a_{n}\}$ 数列，均有 $n \leq 2 \log_{2} a_{1} + d$ ，求d的最小值.

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17、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， $| A B | = 10$ .

(1)、求E的方程；

(2)、直线 $l : x = - 4$ ，过l上一点P作E的两条切线 $P M, P N$ ，切点分别为M，N.求证：直线 $M N$ 过定点，并求出该定点坐标.

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18、对集合 $A = {- 1, 2, x, y}$ ，其中 $x > 0, y > 0$ ，定义向量集合 $Ω = {\vec{a} ∣ \vec{a} = (m, n), m, n \in A}$ ，若对任意 $\vec{a_{1}} \in Ω$ ，存在 $\vec{a_{2}} \in Ω$ ，使得 $\vec{a_{2}} ⊥ \vec{a_{1}}$ ，则 $x + y =$ .

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19、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, φ < ω < π)$ 是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、这个简谐运动的初相为 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{2}, 3 π]$ 上单调递减 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，O是坐标原点，过 $F_{1}$ 作直线与C交于A，B两点，若 $|A F_{2}| = | A B |$ ，且 $△ O A F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6} b^{2}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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性别	保护动物意识		合计
性别	强	弱	合计
男性	30	70	100
女性	60	40	100
合计	90	110	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	15	16	18	19	22
$y$	102	98	115	$m$	120