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相关试卷

1、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为 $2 \sqrt{3}$ 的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $28 π$ B、 $\frac{28π}{3}$ C、 $\frac{56 π}{3}$ D、 $\frac{208 \sqrt{3} π}{3}$

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2、已知m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面， $m \subset α, n \subset β$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ C、若m与n不相交，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β$ ，则m与n不相交

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 $2$ 的正方形.
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过点 $Q (1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.点 $P (4, 3)$ ，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $k_{1} \cdot k_{2}$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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4、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，连接 $B_{1} C$ ，过 $B$ 点作 $B_{1} C$ 的垂线交 $C C_{1}$ 于 $E$ ，交 $B_{1} C$ 于 $F$

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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5、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最值．

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6、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in R)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的有（）

A、 $a > 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则点 $A_{1}$ 到面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{5}$

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8、设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ .若 $f (x) = f^{'} (π) x^{2} - \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、 $x = 4$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(4, 5)$ 上单调递增

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10、已知函数 $f (x) = 2 x + 2 a l n x - \frac{1}{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a$ 为整数，若 $f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，且在 $(4, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $2 b \cos C = 2 a - c$

(1)、求角 $B$ ；

(2)、如图，若 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $\overset{⃑}{a} =$ （2，1）， $\overset{⃑}{b} =$ （1，y），且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ＝（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、5 D、4

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13、如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形， $A B = A D = 4$ ， C为底面圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， PA为圆台的母线， $P A = 5$ ，圆台上底面的半径为1．

(1)、求该圆台的表面积；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值．

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14、已知函数 $f (x) = \ln |x| - x \ln a + 1$ ， $a > 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ .
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）设 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > \frac{2}{\ln a} - \frac{1}{e}$ .

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15、已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉 $(k = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 6)$ .
1
2
3
4
5
6

(1)、试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P；

(2)、随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望 $E (X)$ 的值.

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = 6 x + 2$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值.

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17、浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在1月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在6月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分.英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2023年1月“首考”中，英语成绩达到122分及以上的学生，学考等第为A.某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男女各100名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表.
男生
女生
A等
40
70
非A等
60
30

(1)、估计事件“从200名学生中随机选择1人，选到的学生英语学考等第为A”的概率；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生英语学考等第与学生性别是否有关？
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
独立性检验临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、（1）求方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 8$ 的正整数解的个数；
（2）求方程 $2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$ 的正整数解的个数.

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19、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式的前三项的二项式系数之和为29.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = - 1$ ，且 $f^{'} (x) < 3 f (x) + 6$ ，则不等式 $f (\ln x) + 2 > \frac{x^{3}}{e^{3}}$ 的解集为.

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	男生	女生
A等	40	70
非A等	60	30

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828