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1、作用于原点的两个力 $\overset{⃑}{F_{1}} = (1, 1), \overset{⃑}{F_{2}} = (2, 3)$ ，为使它们平衡，需加力 $\overset{⃑}{F_{3}}$ 等于（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 3, - 4)$ D、 $(2, 3)$

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2、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ．

(1)、已知平面内点 $A (2, 4)$ ，点 $B (2 + \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ ，若把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、已知 $\vec{A B} = (1, 1)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ， $\vec{C D} = (2, 6)$ ，若 $\vec{A P} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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3、如图所示，在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 及 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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4、“广佛之眼”摩天轮半径为 $50 m$ ，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心 $O$ 距地面的高度为 $60 m$ ，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 $15 min$ 转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱 $10 min$ 时他距离地面的高度为 $m$ ．

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5、如图，为测量海岛的高度 $A B$ 以及其最高处瞭望塔的塔高 $B C$ ，测量船沿航线 $D A$ 航行，且 $D A$ 与 $A C$ 在同一铅直平面内，测量船在 $D$ 处测得 $∠ B D A = α$ ， $∠ C D A = β$ ，然后沿航线 $D A$ 向海岛的方向航行 $m$ 千米到达 $E$ 处，测得 $∠ B E A = γ$ ， $∠ C E A = δ$ （ $δ > γ > β > α$ ，测量船的高度忽略不计），则（）

A、 $A B = \frac{m \sin γ \sin α}{\sin (δ - α)}$ B、 $B D = \frac{m \sin γ}{\sin (γ - α)}$ C、 $B C = \frac{m \sin α}{\cos δ \sin (γ - α)}$ D、 $C D = \frac{m \sin δ}{\sin (δ - β)}$

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6、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{3}$ ，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a$ ， $b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ ，则该坐标系中 $M (3, 3)$ 和 $N (2, 1)$ 两点间的距离为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} \cos θ - y_{k} \sin θ, x_{k} \sin θ + y_{k} \cos θ)$ ， $(0 < θ < π)$

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $S_{△ O A B} = S_{△ O A^{'} B^{'}}$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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8、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b = 2$ ， $\sqrt{3} b \sin C + b \cos C = a$ ．

(1)、求B；

(2)、若D，E为线段 $B C$ 上的两个动点，且满足 $∠ D A E = 60 °$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，求 $S_{△ A D E}$ 的取值范围．

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9、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 3$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}|$ 的值；

(2)、已知 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，求 $λ$ 的值．

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10、如图所示，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为1， $B C ⊥ C C_{1}$ ，点P为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点．

(1)、若点 $P$ 恰为线段 $B_{1} C_{1}$ 上靠近点 $C_{1}$ 的三等分点，求三棱锥 $P - A_{1} B C$ 和三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比；

(2)、求 $P A_{1} + P C$ 的最小值及此时 $B_{1} P$ 的值．

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11、勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形 $A B C$ 边长为2，点P为圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，且满足： $S_{△ A B P} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值为．

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的取值范围是 $[0, \frac{π}{6}]$ B、 $|\vec{b}|$ 的取值范围是 $[1, 3]$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是 $[2, 4]$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围是 $[3, 5]$

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13、如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，点E为线段 $A D$ 上的中点，点F为线段 $C D$ 上靠近点C的三等分点， $B E$ ， $B F$ 分别与 $A C$ 交于R，T两点．则（）

A、 $\vec{F T} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\vec{B D} = \frac{3}{5} \vec{B E} + \frac{4}{5} \vec{B F}$ C、 $\vec{A B} = 3 \vec{B R} + 4 \vec{D T}$ D、 $\vec{A D} = 3 \vec{A B} - 4 \vec{E R}$

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14、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $2 \vec{b}$ D、 $- 2 \vec{b}$

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15、已知复数 $z = (1 - 2 i) (1 + i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $- 1$ D、1

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1 - x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{a}{b} = \frac{\sin B + \sqrt{3} \cos B}{\sin A + \sqrt{3} \cos A}$ ，且 $A \neq B$ ．

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、若 $∠ C$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 b$ 的取值范围．

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18、已知向量 $\vec{m} = (c o s α, - 1)$ ， $\vec{n} = (2, s i n α)$ ，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．
$(1)$ 求 $c o s 2 α$ 的值；
$(2)$ 若 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ ．

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19、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ，且 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心．若 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $μ \vec{B C}$ ，且 $\cos ∠ A O C \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ ，则 $μ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$ B、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{10}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}]$

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20、已知 $\sin α - 3 \cos α = 0$ ，则 $\frac{\sin α \cos 2 α}{\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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