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相关试卷

1、某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：

(1)、在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；

(2)、求李明最终通过面试的概率.

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2、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和 $B$ 其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8, n (A \cup B) = 16$ ，则 $P (A B) =$ ； $P (\bar{A} \bar{B}) =$ .

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3、已知三棱锥 $A - B C D$ ， E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，下列说法正确的是（）

A、E，F，G，H四点共面 B、 $B D //$ 平面EFGH C、设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，则 $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$ D、若 $E G = F H$ ，则 $A C ⊥ B D$

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ A C$ ， D为 $C C_{1}$ 的中点， $A B = A C = A A_{1}$ ，则 $A B_{1}$ ， $A_{1} D$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$

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5、为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数为 $m_{e}$ ，众数为 $m_{0}$ ，平均数为 $x$ ，则（）

A、 $m_{e} = m_{0} = x$ B、 $m_{e} = m_{0} < x$ C、 $m_{e} < m_{0} < x$ D、 $m_{0} < m_{e} < x$

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6、若 $△ A O B$ 的三个顶点坐标分别为 $A (4, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $O (0, 0)$ ，则 $△ A O B$ 外接圆的圆心坐标为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 2, 1)$

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7、直线 $x + y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $90^{°}$ D、 $135^{°}$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为 $P D$ 中点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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9、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ .第2组 $[25, 30)$ .第3组 $[30, 35)$ .第4组 $[35, 40)$ .第5组 $[40, 45]$ .

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

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10、已知P是直线l： $3 x + 4 y - 8 = 0$ 上一动点，过点P作圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则 $∠ M P N$ 的最大值为.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点为 $F, A 、 B$ 是 $C$ 上关于原点对称的两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $△ A B F$ 的周长为．

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12、已知直线 $y = x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，则 $|M N| =$ .

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13、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且 $|P F_{1}| = 4, F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 ${F^{'}}_{1}$ ，过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与椭圆长轴交于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ B、 $|P M| = 3 \sqrt{3}$ C、点 ${F^{'}}_{1}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心，16为半径的圆上 D、 $|F_{1} M| : |F_{2} M| = 1 : 2$

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14、已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，则（）．

A、圆 $C_{2}$ 的半径为4 B、y轴为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公切线 C、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ D、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上共有3个点到直线 $2 x - y - 2 = 0$ 的距离为1

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15、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $∠ F_{1} P O = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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16、已知圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，点 $A$ 是圆 $C$ 上一动点，点 $B (3, 0)$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$

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17、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = A P = 4, A D = 3$ ， $E, F$ 分别在棱 $P B, P D$ 上，且 $A E ⊥ P B, A F ⊥ P D$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A E$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $P - E D C$ 外接球的表面积.

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19、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ .

(1)、若 $P$ 的坐标为 $P (3, - 3)$ ，求过点 $P$ 与圆C相切的直线方程；

(2)、直线 $x - y + m = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E, F$ 两点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的取值范围（ $O$ 为坐标原点）.

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20、2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在 $[40, 100]$ ），将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，得到频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值，并求出测试成绩在 $[80, 100]$ 内的学生人数；

(2)、试估计本次测试成绩的 $60 %$ 分位数；

(3)、从测试成绩在 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在 $[90, 100]$ 内的概率.

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得分	3	4	5	6	7	8	9	10
频数	2	3	10	6	3	2	2	2