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相关试卷

1、直线 $x + y - 1 = 0$ 是曲线 $y = ln x - 2 x + a$ 的一条切线，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b c = 3 a^{2}$ ，且 $b + c = \frac{7}{2} a$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x} > x\}$ ， $B = \{x |2 x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x < \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$

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4、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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5、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ ，若关于x的不等式 $f (x) - m \geq 0$ 在 $[1, e]$ 上有实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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9、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 2} - S_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ，则公比 $q =$ .

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10、在 ${(2 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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11、导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（）

A、 $x_{4}$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值点 B、 $f^{'} (x_{2})$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值 C、 $f (x_{3})$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值 D、 $x_{5}$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点

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12、若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = - 40$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 121$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 122$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是常数列 B、 $a_{n} = n + 1$ C、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2026}} = \frac{4052}{2027}$ D、 $a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立

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14、已知 $a = \ln \frac{6}{7}$ ， $b = - \frac{1}{7}$ ， $c = - \sin \frac{1}{7}$ 则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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15、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 2$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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16、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $M (1, f (1))$ 处的切线方程是 $y = - 2 x + 1$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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17、有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（）

A、48种 B、12种 C、36种 D、24种

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18、城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 $A$ ， $B$ 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中 $A$ 中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式

A、9 B、12 C、14 D、16

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19、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x (a \in R)$ ，且 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、过原点 $(0, 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，求切线方程；

(3)、过点 $(0, m) (m \in R)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，讨论切线的条数.

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20、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ .

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