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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 关于直线 $x = - 1$ 对称， $g (3 + 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f^{'} (- 1) = 0$ B、 $g (2023) + g (- 2025) = 1$ C、 $g (3) = 0$ D、 $g (2023) = 0$

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2、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $2 π$ 不是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x) = 1$ 成立的充要条件是 $x = \frac{π}{8} + k π$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的图象可通过 $y = sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]$ 上单调递减

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1,2), \vec{b} = (0,3)$ ，如果向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - x \vec{b}$ 垂直，则实数 $x$ 的值为(　　)

A、1 B、－1 C、 $\frac{17}{24}$ D、－ $\frac{17}{24}$

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4、等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5}$ ， $a_{21}$ 是方程 $x^{2} + 11 x + 5 = 0$ 的两根，则 $\frac{a_{7} a_{19}}{a_{13}}$ 的值为.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2} + 1}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2024} > a_{2023}$ B、 $\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$ 为递增数列 C、 $4 a_{n + 1}^{2} - 1 = 4 a_{n + 1} a_{n}$ D、 $a_{2024}^{2} < 1013$

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6、已知x，y∈R ，且 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ <0，则（）

A、x-y>0 B、sinx-siny>0 C、 $2^{x} - 2^{y}$ >0 D、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ >2

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7、设奇函数 $f (x)$ ， $(x \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$ B、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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8、已知O为 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{O A} + \sqrt{3} \cdot \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ A O C$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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9、若复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = |4 - 3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（）

A、28 B、23 C、18 D、16

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $cos C + (cos B - \sqrt{3} sin B) cos A = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P C = A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求平面 $P A C$ 与平面 $A C E$ 的夹角的正弦值．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = 60 °$ ，点D，E满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， AC边上的中线BM与DE交于点O.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、求 $∠ M O E$ .

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14、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点 $P$ 是线段 $A_{1} B$ 上的一动点，则线段 $A P + P C_{1}$ 的最小值为．

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15、如图是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A = P B = 4$ ， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ，该棱锥的高为（）.

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 3, B C = 4, ∠ C = 90^{\circ} . P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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18、已知 $l, m$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l // α$ ，且 $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, m // α$ ，则 $m // l$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, l ⊄ α$ ，则 $l // α$

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19、函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1$ ，且 $r > 0)$ .

(1)、 $r \neq 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，判断 $2 {cos}^{2} θ$ 与 ${(\frac{1}{n} cos 2 θ + 1)}^{n}$ 的大小 $(n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2)$ ，并说明理由；

(3)、证明：对于任意的 $n \in N^{*}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，有 $({sin}^{2} θ + {sin}^{3} θ + \dots + {sin}^{2 n} θ + {sin}^{2 n + 1} θ) + ({cos}^{2} θ + {cos}^{3} θ + \dots + {cos}^{2 n} θ + {cos}^{2 n + 1} θ) \geq (\sqrt{2} + 2) (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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20、设 $O$ 为坐标原点，点 $P (2, 4)$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两个动点， $\vec{O P} = λ (\vec{O A} + \vec{O B}) (λ \in R)$ .

(1)、证明：向量 $\vec{m} = (1, 4)$ 是直线 $A B$ 的一个法向量；

(2)、若线段 $O P$ 与椭圆交于点 $Q$ ，求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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