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相关试卷

1、泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为 $λ (λ > 0)$ 的泊松分布（记作 $X ~ π (λ)$ ，则其概率分布为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ， $k \in N$ ，其中 $e$ 为自然对数

(1)、对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积 $λ = n p$ 大小适中，二项分布就可以近似的看作参数 $λ = n p$ 的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）；

(2)、已知 $X ~ π (λ)$ ， $λ$ 为正整数，若 $P (X = k)$ 的最大值是 $P (X = 4)$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、若 $X ~ π (0.2)$ ，试比较 $P (X \leq 2)$ 与0.99的大小，并说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = x - \ln (1 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、讨论函数 $z (x) = f (x) - \frac{1}{2} m x^{2} (m \in R)$ 的单调区间；

(3)、证明： $[1 + {(\frac{1}{2})}^{0}] \times [1 + 2 \times {(\frac{1}{2})}^{1}] \times \cdot \cdot \cdot \times [1 + n \times {(\frac{1}{2})}^{n - 1}] < e^{4}$ .

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3、体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示：
喜欢室外运动项目
喜欢室内运动项目
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联?

(2)、用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差；

(3)、小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为 $\frac{1}{4}$ .已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率.
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

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4、已知函数 $f (x) = a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + c x + d$ 在 $x = - 1$ 和 $x = 2$ 处取得极值，且经过点（0，1）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 2, 3]$ 时，若函数 $h (x) = f (x) - \frac{1}{3} k$ 有且仅有两个零点，求k的取值范围

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $b_{2} = 2$ ， $b_{5} = 16$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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6、英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.如果函数 $f (x) = 3 x^{2} - 27$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} + 3}{x_{n} - 3}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $x_{n} > 3$ ，则 $a_{2025} =$ .

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} = 2 n - 1$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ .

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8、 ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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9、已知随机变量X的分布列如下：
$X$
1
2
3
…
$n$
$P$
$P_{1}$
$P_{2}$
$P_{3}$
…
$P_{n}$
若数列 $\{P_{n}\}$ 是等差数列，则下列说法正确的是（）
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

A、若 $n = 7$ ，则 $P (X = 4) = \frac{1}{7}$ B、若数列 $\{P_{n}\}$ 是单调递减数列，则 $P_{n} > \frac{2}{n}$ C、若 $\{P_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $D (X) = \frac{n^{2} - 1}{12}$ D、若 $P_{1} = \frac{1}{8}$ ，则当 $n = 15$ 或 $n = 16$ 时， $E (X)$ 取得最大值

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n}$ 有最大值，且 $\frac{a_{2024}}{a_{2025}} < - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2025} < 0$ B、当 $S_{n}$ 最大时， $n = 2024$ C、使 $S_{n} < 0$ 的最小 $n$ 值为4050 D、在数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\} (1 \leq n \leq 4048)$ 中，当 $n = 2024$ 时， $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ 取最大值

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11、定义在 $(- 5, 2)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在 $(- 4, - 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、 $f (- 2) > f (- \frac{1}{2})$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 n$ ，设 $b_{n} = (n - λ) \log_{2} (a_{n} + 2)$ ， $λ \in R$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 是递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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13、已知随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (X < - 2) = P (X > 6)$ ，则 $f (x) = \frac{x^{μ}}{μ^{x}} (x > 0)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(0, \frac{\ln 2}{2})$ B、 $(\frac{\ln 2}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2}{\ln 2})$ D、 $(\frac{2}{\ln 2}, + \infty)$

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14、电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
3.8
6.1
7.8
9.9
12.4
由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中已知 $\hat{b} = 2.1$ ，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（）

A、1430元 B、1420元 C、1455元 D、1416元

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15、把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（）

A、4 B、6 C、10 D、24

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} > 0$ ，且满足 $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则公比q为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ 或2 D、3

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17、若随机变量X服从两点分布， $P (X = 1) - P (X = 0) = 0.4$ ，则 $P (X = 1)$ 为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.8

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18、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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19、设函数 $f (x) = 2 \cos x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为（）

A、 $2 \cos 2$ B、 $- 2 \cos 2$ C、 $2 \sin 2$ D、 $- 2 \sin 2$

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20、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接 $A C$ ， $B D$ 交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设 $\vec{A Q} = λ_{1} \vec{A C}$ ， $\vec{B Q} = λ_{2} \vec{B D}$ ，求 $\frac{5}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}}$ 的最大值．

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	喜欢室外运动项目	喜欢室内运动项目	合计
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$X$	1	2	3	…	$n$
$P$	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	…	$P_{n}$

$x$	2	3	4	5	6
$y$	3.8	6.1	7.8	9.9	12.4