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相关试卷

1、已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)、求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)、求随机变量X的分布列及期望．

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2、终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合是．（用弧度制表示）

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3、我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 $θ$ 称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画 $B C$ ，最高点为 $B$ ，最低点为 $C$ ，观察点 $A$ 所在的水平线与壁画的竖直线交点为 $O$ ，在点 $A$ 处观察点 $B$ ，仰角为 $45 °$ ，然后面对壁画前进 $6 m$ 处的点 $D$ 观察点 $B$ ，其仰角的正切值为7．

(1)、求壁画最高点 $B$ 与点 $O$ 的距离；

(2)、若在 $A$ ， $D$ 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等．
①求壁画最低点 $C$ 与点 $O$ 的距离；
②在观察水平线 $A O$ 上，应处在距离点 $O$ 多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？

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4、如图1，在 $△ P A B$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ ， $C$ 分别是 $P A$ ， $P B$ 的中点，现将 $△ P D C$ 沿 $D C$ 逆时针翻折形成四棱锥 $P^{'} - A B C D$ （如图2），且 $P^{'} A = \sqrt{3}$ ，直线 $P^{'} C$ 与平面 $P^{'} A D$ 所成的角为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P^{'} A B ⊥$ 平面 $P^{'} A D$ ；

(2)、求四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $C - P^{'} A - D$ 的正切值．

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5、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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6、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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7、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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8、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 60^{\circ}$ ， $a + c = 6$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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10、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A P} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A M} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{P Q} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $M$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，则实数 $λ$ 的值为．

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $M N$ 垂直 B、直线 $B_{1} P //$ 平面 $B M N$ C、三棱锥 $P - B M N$ 的体积为9 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面是等腰梯形

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12、已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，下列说法中正确的有（）

A、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} \notin R$ ，且 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$ ，则 $|z_{1}| = 1$

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13、下列选项中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 中线的交点，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向且共线 D、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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14、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $tan α = \frac{3}{4}$ ， $cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $2 α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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15、在等腰直角 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2$ ，点 $M$ 为 $A B$ 上一动点，则 $\vec{C M} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量为（）

A、 $(- 4, 2)$ B、 $(- 4 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(4 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5})$

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17、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、已知空间中不同平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，不同直线 $m$ ， $n$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α // β$ B、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m // n$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ， $m // n$ ，则 $α // β$

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19、已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（）

A、6.5 B、6 C、2.5 D、2

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20、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = (l + i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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