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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为90，方差为3；数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{15}$ 的平均数为85，方差为5，则 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{15}$ 的平均数为87，方差为10.2 C、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的极差为6，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 1 ， 2 x_{2} + 1 ， \dots ， 2 x_{10} + 1$ 的极差和方差分别为12，9 D、数据 $13, 27, 24, 12, 14, 30, 15, 17, 19, 23$ 的上四分位数是24

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2、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 R ，且 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ ，若 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则（）

A、 $f (- x) = - f (x)$ B、 $g (- x) = - g (x)$ C、 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) = 6066$ D、 $\sum_{i = 1}^{2024} g (i) = 0$

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点， $Q$ 是 $B C$ 的中点， $A Q$ 与 $C P$ 的交点为 $M$ 有下列四个命题：
甲： $\overset{⃑}{C P} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{C B}$              乙： $\overset{⃑}{C M} = 3 \overset{⃑}{M P}$
丙： $S_{△ A C P} : S_{△ A B C} = 1 : 3$        丁： $\overset{⃑}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{M Q}$
如果只有一个假命题，则该命题为（       ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4、设m，n是不同的直线， $a, β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n, n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m / / β, β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5、对于给定的正整数 $n$ ，如果正整数 $d$ 能整除 $n$ ，则称 $d$ 是 $n$ 的因子；如果正整数 $m$ ， $n$ 共同的因子只有1，则称正整数 $m$ 和 $n$ 互素.已知函数 $f (n)$ 表示正整数 $n$ 的因子个数，数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：
①对于任意素数 $p$ 和正整数 $n$ ，都有 $a_{p^{n}} = n + 1$ ；
②对于任意的正整数 $m$ 和 $n$ ，若 $m$ 和 $n$ 互素，则 $a_{m n} = a_{m} \cdot a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 的值，并写出 $a_{n}$ 和 $f (n)$ 的关系（无需证明）；

(2)、当 $n$ 是偶数时，证明： $a_{n} \leq \frac{n}{2} + 1$ ；

(3)、设数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{5}{3}$ .

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6、已知曲线 $f (x) = (x + a) \ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = b x - 3$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、已知 $x \geq y \geq \frac{1}{2}$ ，且 $f (x) + f (y) = a \ln (x y)$ ，证明：对任意的 $m \in [1, 2]$ ， $3 \leq 2 x + m y \leq 4$ ．

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{6}, 0)$ ，且C的一条渐近线经过点 $D (\sqrt{2}, 1)$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、是否存在过点 $P (2, 1)$ 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上， $A D = 2 D A_{1}$ ， $C_{1} E = 2 E C$ ， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、当三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积最大时，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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9、如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率是 $\frac{1}{3}$ ，共移动4s，设随机变量 $X$ 为移动4s后的质点的坐标，求移动4s后质点的坐标为正数的概率.

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10、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 3) = - f (- x)$ ，且 $f (2) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上的零点个数的最小值为.

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11、复数 $z$ 满足 $i (z + i) = 2 + i$ ，则 $|z| =$ .

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12、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (\frac{5 π}{3} - x) = 0$ C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 的值域为 $[- 1, \sqrt{3}]$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, 2 π)$ 上有3个极值点

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13、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为 $ξ$ ， $η$ ）均服从正态分布，其中 $ξ ~ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $η ~ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ．如图，已知 $μ_{1} = 1150$ ， $μ_{2} = 1130$ ， $σ_{1}^{2} = 2500$ ， $σ_{2}^{2} = 1600$ ，两正态密度曲线在直线 $x = μ_{2}$ 左侧交于点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (ξ < μ_{1}) < P (ξ < μ_{2})$ B、 $P (η < μ_{1}) > P (η < μ_{2})$ C、 $P (ξ > x_{0}) < P (η > x_{0})$ D、 $P (ξ > 1250) > P (η < 1050)$

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14、校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥 $P - A B C$ 的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ ，使得平面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ 均与平面ABC垂直，再将球 $O$ 放到上面使得 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 三个点在球 $O$ 的表面上，若奖杯的总高度为 $6 \sqrt{2}$ ，且 $A B = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{140 π}{3}$ B、 $\frac{100 π}{9}$ C、 $\frac{98 π}{9}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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15、已知0是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ 的极大值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3}, + \infty)$

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16、已知直线 $a$ 和 $b$ ，平面 $β$ ，且 $a ⊄ β$ ， $b \subset β$ ，则“ $a ∥ b$ ”是“ $a ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{1, 3, a^{2}\}$ ， $B = \{1, a + 2\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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18、某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）

A、3 B、5 C、6 D、10

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右顶点为 $A$ ，点 $P (a, 0)$ 、 $Q (0, t)$ 分别是 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴上的动点.

(1)、若 $P$ 是 $Γ$ 的左焦点，且 $|O A| = |P Q|$ ，求 $t$ 的值；

(2)、设 $t = 2 \sqrt{2}$ ， $Γ$ 上存在 $x$ 轴上方一点 $B$ .若 $\tan ∠ A Q B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $B$ 的坐标；

(3)、设 $t = 2$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点( $M$ 、 $N$ 两点不重合)，与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $C$ 的纵坐标 $y_{c} > 1$ ，记 $M$ 与 $N$ 到直线 $A Q$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ .若存在直线 $l$ ，满足 $d_{1} + d_{2} = 3 \sqrt{2}$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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20、若直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．

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