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相关试卷

1、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点P是 $C_{1}$ 上任意一点．抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 y$ ，

(1)、求 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点P作 $C_{1}$ 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 $A ， B$ 两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；

(3)、 $P C ， P D$ 是 $C_{2}$ 的两条切线， $C ， D$ 是切点，求 $△ P C D$ 面积的最小值．

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2、若函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0)$ 与函数 $g (x) = 1 - \frac{a}{x}$ 的图象在公共点处有相同的切线.

(1)、当 $λ = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共点处的切线方程；

(2)、求 $a$ 的最小值：

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ，面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C D, P A ⊥ A C, P A = B C = 2 A B = 4, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值．

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4、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 5 (a sin A - b sin B) = 3 c sin C$ ．

(1)、求证： $tan A = 4 tan B$ ；

(2)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围．

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5、如图，将边长为1的正五边形 $A B C D E$ 的各边延长，得到一个正五角星.若点 $P, Q$ 在正五角星的内部（含边界），则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为.

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6、从公比不为1的正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为．

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b \leq 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \leq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{16}{5}$ D、 $3^{a} + 9^{b} \geq 18$

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8、已知一几何体上半部分为圆台 $P O$ ，下半部分为圆锥 $S O$ ，其中圆锥 $S O$ 底面的半径为 $r$ ，高为 $h$ ．圆台 $P O$ 的两底面的半径分别为 $r$ 和 $\frac{\sqrt{21}}{7} r$ ，高为 $2 h$ ．该几何体内接于表面积为 $100 π$ 的球，则圆台 $P O$ 的体积为（）

A、 $(10 + \sqrt{21}) π$ B、 $2 (10 + \sqrt{21}) π$ C、 $4 (10 + \sqrt{21}) π$ D、 $6 (10 + \sqrt{21}) π$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 是椭圆 $C$ 的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当 $P$ 在圆外时，其极线 $l$ 是椭圆从点 $P$ 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知 $P$ 是直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 引两条切线，切点分别为 $M, N$ ，直线 $M N$ 恒过定点 $T$ ，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x + 2 y + 4 = 0$ C、 $2 x - y - 4 = 0$ D、 $2 x + y - 4 = 0$

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10、已知 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、 $60$ B、 $80$ C、 $84$ D、 $120$

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11、在复平面内，复数 $z = (sin α - 2 sin β) + (cos α - 2 cos β) i$ （i为虚数单位）与点 $Z (\sqrt{3}, 1)$ 对应，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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12、在公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{s} + a_{t} = 2 a_{3}$ ，则 $\frac{4}{s} + \frac{1}{t}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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13、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、设集合 $M = \{y |y = 2 x, x \in [- 1, 1]\}$ ， $N = \{x |y = \log_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1]$

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15、已知函数 $f (x) = a ln x - x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $m \leq x^{2} e^{x} + 1 - x - 2 \ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

(3)、 $n$ 为正整数，当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n, f (n))$ 处的切线记为 $L_{n}$ ，直线 $L_{n}$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标记为 $y_{n}$ ，证明： $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{n} \leq \frac{n^{2} - 5 n}{2}$ ．

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16、将6个不同的小球放入编号分别为 $1, 2, 3$ 的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）

(1)、求共有多少种不同放法；

(2)、当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；

(3)、当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；

(4)、若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？

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17、某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“ $A$ 通识过关— $B$ 综合拓展— $C$ 创新提升”三层动态原库，且 $A, B, C$ 三层题量之比为 $7 : 3 : 2$ ，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

(1)、现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自 $B$ 层的概率；

(2)、现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到 $A$ 层题的题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望 $E (X)$ ．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19、将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列 ${a_{n}}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{69} =$ .

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20、若函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2}$ 有唯一一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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