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相关试卷

1、如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东 $75 °$ 的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成 $△ A B C$ .其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.

(1)、若满足关系式： $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos A$ ，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；

(2)、巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若 $△ A B C$ 满足关系式： $2 \cos A = \frac{\sin C}{\sin B}$ ，求 $b + \sqrt{2} c$ 的最大值.

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2、已知 $0 < α < \frac{π}{4}$ ， $0 < β < \frac{π}{4}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{5}$ ， $\cos (α - β) = \frac{3}{5}$ .

(1)、分别求 $\sin α \sin β$ ， $\cos α \cos β$ ， $\tan α \tan β$ 的值；

(2)、求 $\tan α + \tan β + 2 \sqrt{6} \tan α \tan β$ 的值.

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3、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} F //$ 平面AOE；

(2)、证明： $A C ⊥ O E$ .

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4、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + 1)$ 的图象上存在点M，函数 $g (x) = - x - a$ 的图象上存在点N，且当 $x \in [0, e]$ 时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是.

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5、已知平行四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 4$ ，则边 $A D =$ .

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6、在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中 $A C = B C$ ，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为.

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7、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 $\sqrt{2}$ B、直线 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为定值 D、若过A，M， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， Q为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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8、声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ .已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，下列说法正确的是（）

A、该函数是偶函数 B、该函数的最小正周期为 $2 π$ C、该函数的最大值为 $\frac{11}{6}$ D、该函数的图象关于 $(2 π, 0)$ 对称

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9、设复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = 1 + 2 i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{2}{5} i$ B、 $z \cdot \bar{z} = \frac{1}{5}$ C、 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若 $a + z$ 为虚数，则 $a = \frac{1}{5}$

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10、已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上单调，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - \log_{2} x) = 3$ ，则 $f (2^{2025}) - 2$ 的值是（）

A、 $2^{2025}$ B、 $2^{2027}$ C、2025 D、2027

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11、已知集合 $A = {x |\ln x + 2 x - 6 = 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则符合条件的一个集合B是（）

A、 $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 > 0\}$ B、 $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 < 0\}$ C、 $B = {x |e < x < 3}$ D、 $B = {x |x > e}$

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12、已知 $\sin (α - β) \cos α - \cos (β - α) \sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $β$ 是第四象限角，则 $\cos (β + \frac{5 π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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13、已知平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 和直线 $m$ ， $n$ ， $c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ c$ ， $n ⊥ c$ ，则 $m // n$ C、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC上靠近 $B$ 的一个三等分点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A D}$ 可以用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示为（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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15、已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ 与 $z_{2} = 3 + b i$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 的值是（）

A、4 B、6 C、9 D、13

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16、若 $\vec{a} = (6, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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17、 $\sin 75 ° \cos 30 ° - \sin 30 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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18、若存在 $x_{0} \in R$ ， $n_{0} \in N^{*} (n_{0} \geq 2)$ ，使得 $\{x | x = x_{0} + \frac{2 k π}{n_{0}}, k \in Z\}$ 恰为函数 $f (x)$ 的全部零点所构成的集合，则称 $f (x)$ 为“分圆函数”．

(1)、分别判断下列函数是否为“分圆函数”；（结论不要求证明）
① $y = \sin x - \cos x$ ；
② $y = 2 \cos x + 1$ ．

(2)、求证：对任意a∈R ， $f (x) = \tan^{2} x - a \tan x - 1$ 均为“分圆函数”；

(3)、若 $g (x) = \frac{\cos 2 x}{\cos x} - b$ 为“分圆函数”，求 $b$ 的值．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}, A C = 2, B C = 4$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ，沿 $C P$ 将 $△ A C P$ 折起形成三棱锥 $A_{1} - P B C$ ．

(1)、若 $P C ⊥ A B$ ，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A_{1} P B$ ；

(2)、若 $λ = 1, A_{1}$ 在平面 $P B C$ 上的射影恰好在 $B C$ 上，求二面角 $A_{1} - C P - B$ 的余弦值；

(3)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，且二面角 $A_{1} - C P - B$ 为直二面角，求点 $P$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离．

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20、高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩 $x$ 进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（ $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)、若根据这次成绩，年级择优选取 $40 %$ 的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？

(2)、年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数 $\bar{x} = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若该小组得分分别为95分和85分的 $A 、 B$ 两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差；

(3)、在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ ．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率．

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