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相关试卷

1、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，其中一条渐近线与圆 $E : {(x - 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 4$ 相交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{13}$

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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3、已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 10.5 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 等于
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80

A、0.5 B、1.5 C、2 D、2.5

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4、已知随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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5、向量 $\vec{a} = (1, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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6、样本数据2，4，5，6，8的中位数为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $5$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $6$

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7、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{x}$ ，直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t))$ 处的切线．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在直线l经过点 $(0, 0)$ ，求实数a的取值范围．

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面PBC，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A P = B C = \sqrt{6}$ ， PC与平面PAB所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $a = 7$ ， D是BC边的中点，且 $A D ⊥ A C$ ，求AD的长．

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10、某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = - 1, S_{7} = 5 a_{4} + 10$ ，则 $S_{4} =$ ．

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）

A、若直线BD的斜率为1，则 $|B D| = 8$ B、以BD为直径的圆与y轴相切 C、 $E F ⊥ G F$ D、B，O，G三点共线

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13、为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则（）
（参考公式：相关系数为 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

A、 $\hat{b} = 0.24$ B、当 $x = 4$ 时，对应的残差为0.04 C、样本数据y的第40百分位数为0.8 D、去掉点 $(3, 1)$ 后，x与y的样本相关系数r不变

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与E交于M，N两点．若 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ， $|M N| = |M F_{1}|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) e^{x}, x < 1 \\ a x + 1, x \geq 1 \end{matrix}$ 有最大值，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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16、满足等式 $\{0, 1\} \cup X = \{x \in R |x^{3} = x\}$ 的集合X共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、已知 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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18、通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，称 $\vec{a}$ 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2}), \vec{b} = (z_{3}, z_{4}), z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ ， $λ \in C$ ，我们有如下运算法则：① $\vec{a} + \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4}),$ $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；② $λ \vec{a} = (λ z_{1}, λ z_{2});$ ③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ ．

(1)、设 $\vec{a} = (1, 2 - i), \vec{b} = (1 + i, 1 - 2 i)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论： $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，判断上述结论是否正确，并说明理由；

(3)、设 $\vec{a} = (3 + 3 i, 3)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} ∣ \vec{p} = (z_{1}, z_{2}), z_{2} = z_{1} + 3, z_{1}, z_{2} \in C\}, \vec{b} \in Ω$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值，并证明当 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 取最小值时，对于任意的 $\vec{c} \in Ω, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ．

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19、已知函数 $f (x) = cos (4 x + \frac{π}{6}) + cos (4 x - \frac{π}{6}) + sin 4 x + a$ 的最大值为1．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、设 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个相异零点，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值．

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20、如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面BCDE；

(2)、若 $A B = 5, B C = 2$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．

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x	1	2	3	4	5
y	0.5	0.8	1	1.2	1.5