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相关试卷

1、已知a²^x＝3，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ 的值．

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2、已知x>0，y∈R ，定义x*y＝x^y ，则 $(\frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2})$ *(－ $\sqrt{3}$ )＝．

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3、化简： $(a^{2 - \sqrt{3}} b) 2 + \sqrt{3}$ ·b $- 2 - \sqrt{3}$ ＝．

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4、阅读下段文字：“已知 $\sqrt{2}$ 为无理数，若( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 为有理数，则存在无理数a＝b＝ $\sqrt{2}$ ，使得a^b为有理数；若( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 为无理数，则取无理数a＝( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ ， b＝ $\sqrt{2}$ ，此时a^b＝ $[(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}]^{\sqrt{2}}$ ＝ $(\sqrt{2})^{\sqrt{2} · \sqrt{2}}$ ＝( $\sqrt{2}$ )²＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　)

A、( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 是有理数 B、( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 是无理数 C、存在无理数a ， b ，使得a^b为有理数 D、对任意无理数a ， b ，都有a^b为无理数

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5、已知a＋a^-1＝3，则下列选项中正确的有(　　)

A、a²＋a^-2＝7 B、 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}$ ＝±1 C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ ＝± $\sqrt{5}$ D、 $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}}$ ＝2 $\sqrt{5}$

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6、 ${(\frac{3^{\sqrt{7}}}{27})}^{\sqrt{7} + 3}$ ＝(　　)

A、9 　 B、 $\frac{1}{9}$ C、3 　 D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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7、计算3^π× ${(\frac{1}{3})}^{π}$ ＋ ${(2^{2 \sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}$ ＋ $1^{\sqrt{5}}$ 的值为(　　)

A、17 　 B、18 C、6 　 D、5

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8、 ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}} · {\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ ＝(　　)

A、 $\sqrt{5}$ 　 B、5 C、 $5^{\sqrt{2}}$ 　 D、25

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极值，求实数a的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线方程；

(3)、记 $\max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ，已知 $\max \{f (x), x + e - 2\}$ 存在最小值 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最大值．

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10、甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；

(2)、规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．
（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；
（ii）已知 $p = p_{1}$ 时，两位运动员考核“达标”的概率相等， $p = p_{2}$ 时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证： $p_{2} < \frac{2}{3} < p_{1}$ ．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = B C = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $E$ 为棱 $P D$ 上一点，且 $P E = 2 E D$ ．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值．

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12、为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．

(1)、根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；
合计
40
合计

(2)、请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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13、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 4}{x + 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 2 \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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14、类比排列数公式 $A_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1)$ ，定义 $B_{x}^{n} = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1)$ （其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ），将右边展开并用符号 $f (n, k)$ 表示 $x^{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ， $k \in N^{*}$ ）的系数，得 $B_{x}^{n} = f (n, n) x^{n} + f (n, n - 1) x^{n - 1} + \dots + f (n, 1) x$ ，则：
（1） $f (5, 1) =$ ；（结果用数字表示）
（2）若 $f (n, r) = a$ ， $f (n, r - 1) = b$ （ $2 \leq r \leq n$ ， $r \in N^{*}$ ），则 $f (n + 1, r) =$ ．

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15、已知函数 $f (x) = m \sin x - \sin 2 x - 3 x$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $A (4, 5, m)$ ， $B (1, 1, 6)$ ，若 $|\vec{A B}| = 5$ ，则实数 $m =$ ．

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17、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $A_{1} D$ 上（含端点）运动，下列选项中正确的有（）

A、线段 $B_{1} P$ 长度的最大值是 $\sqrt{3}$ B、点P到平面 $A B_{1} C$ 的距离是定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、直线 $B_{1} P$ 与BD所成角的最小值是 $30 °$ D、直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的取值范围是 $[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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18、已知 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，下列选项中正确的有（）

A、 $a_{1} = 2025$ B、 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ 中， $a_{1012}$ 最大 C、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{2025} = 0$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 2^{2024}$

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19、下列选项中正确的有（）

A、若随机变量 $X ~ 0 - 1$ 分布，则X的数学期望 $E (X) = P (X = 1)$ B、若随机变量 $X ~ B (2, 0.5)$ ，则X的方差 $D (X) = 1$ C、在线性回归分析中，相关系数r满足 $- 1 \leq r \leq 1$ D、在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强

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20、某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为 $36 %$ ， $34 %$ 和 $30 %$ ．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩 $X_{1} ~ N (80, 10^{2})$ ，高二成绩 $X_{2} ~ N (80, 10^{2})$ ，高三成绩 $X_{3} ~ N (85, 5^{2})$ ，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则 $P (80 \leq X \leq 90)$ 最接近的值是（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| \leq σ) \approx 0.68$ ， $P (|X - μ| \leq 2 σ) \approx 0.95$ ．

A、 $0.44$ B、 $0.50$ C、 $0.56$ D、 $0.62$

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$P (χ^{2} \geq x_{α})$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

			合计
			40

合计