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相关试卷

1、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 靠近 $C_{1}$ 的四等分点，点 $B$ ， $E$ ， $F$ 所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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2、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3、已知两条直线 $l_{1} : 2 x + a y - 1 = 0$ ， $l_{2} : a x + 2 y + 3 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、若直线 $l : a x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、已知 $z (2 - i) = 1 - i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ ，圆 $O_{1}$ 经过 $A (3, 5)$ ， $B (2, 4)$ 两点，且圆心 $O_{1}$ 在直线 $4 x - 3 y = 0$ 上.

(1)、求圆 $O_{1}$ 的标准方程.

(2)、写出圆 $O$ 与圆 $O_{1}$ 的一条公切线方程.（不需要写出解题过程）

(3)、已知点 $M (8, 0)$ ，是否存在定点 $T$ ，对于经过点 $T$ 且与圆 $O$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点的任意直线，恒有 $∠ P M O = ∠ Q M O$ ？若存在，求出点 $T$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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7、如图1，在高为 $2 \sqrt{7}$ 的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，沿平面 $B_{1} C D$ 切割后得到四棱锥 $C - A B B_{1} D$ ，如图 $2 ， E ， F$ 分别为棱 $C B ， C D$ 的中点， $A B = A C = 3 ， B_{1} C$ $= 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} D$ ．

(2)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $B B_{1} C$ ．

(3)、求直线 $E F$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的正弦值．

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b cos (A - C) = 2 \sqrt{3} c sin A cos B + b cos (A + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} + 4)$ ，求 $a + c$ 的最小值.

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9、已知圆 $M : x^{2} - 4 x + y^{2} - 4 y + m = 0$ .

(1)、求m的取值范围.

(2)、已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $M$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ .
①求 $m$ ；
②求过点 $(4, - 2)$ 的圆 $M$ 的切线方程.

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10、已知直线 $l_{1} : a x - 2 y - 3 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 4 y + 9 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求a；

(2)、若 $l_{1}$ 在x轴上的截距与 $l_{2}$ 在y轴上的截距相等，求a；

(3)、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离.

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11、已知圆 $M : {(x - r)}^{2} + y^{2} = 4 r^{2} (r > 0)$ ，在函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin \frac{π x}{r}$ 的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆 $M$ 内或在圆 $M$ 上，则 $r$ 的取值范围为.

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12、甲､乙两人独立破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $a$ ，且密码被两人成功破译的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则 $a =$ .

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13、 $\frac{5 - 13 i}{i}$ 的共轭复数是.

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14、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，下列说法正确的是（）

A、若过点 $P (\sqrt{2}, - \sqrt{3})$ 的直线与圆 $O$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|$ 的取值范围为 $[4, 6]$ B、圆 $O$ 上有4个点到直线 $l : \sqrt{3} x - y - 2 = 0$ 的距离为 $1.9$ C、若圆 $O$ 与圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 没有公切线，则 $r$ 的取值范围为 $(0, 16)$ D、过直线 $l : x - y + 6 = 0$ 上任意一点 $Q$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $C$ ， $D$ ，则直线 $C D$ 必过定点 $(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A D$ ， $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A C$ $/ /$ 平面 $E M N$ B、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $E M N$ C、平面 $A B C D$ 与平面 $E M N$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、点 $B$ 到平面 $E M N$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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16、下列函数既是奇函数，又在 $(0, 1)$ 上单调递增的有（）

A、 $f (x) = lg |x|$ B、 $f (x) = sin x$ C、 $f (x) = \{\begin{matrix} - {(\frac{1}{2})}^{x}, x < 0 \\ 2^{x}, x > 0 \end{matrix}$ D、 $f (x) = - tan x$

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17、若直线 $k x - y - 3 = 0$ 与曲线 $x = 1 + \sqrt{1 - {(y - 2)}^{2}}$ 有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{12}{5}, 6]$ B、 $(\frac{12}{5}, 4]$ C、 $(\frac{12}{5}, + \infty)$ D、 $(- 6, \frac{12}{5}) \cup [4, 6)$

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{A_{1} C_{1}}$ 在向量 $\vec{A O}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A O}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A O}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A O}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A O}$

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19、2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）

备注：同比增长速度 $= \frac{当月总额 - 上个月总额}{上个月总额}$

A、2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大 B、2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为 $3.4 %$ C、2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于 $5 %$ D、2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为 $4.8 %$

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20、在四面体 $O A B C$ 中，点 $M$ 满足 $4 \vec{O A} = 5 \vec{O M}$ ， $N$ 为 $B C$ 的中点，若 $\vec{M N} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $5 x + y + z =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、4 D、 $- 4$

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