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相关试卷

1、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 不共线，若向量 $k \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 和 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 共线，则实数 $k =$ .

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2、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $tan A = 2$ ，向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则（）

A、边 $B C$ 上的高为 $3 \sqrt{2}$ B、 $sin C = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 8$ D、边 $A B$ 上的中线为 $\sqrt{17}$

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3、如图，在测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C, D$ ．现测得 $∠ B C D = α, ∠ B D C = β, C D = l$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $\frac{l \cdot tan θ sin β}{sin (α + β)}$ B、 $\frac{l \cdot tan θ sin (α + β)}{sin β}$ C、 $\frac{l \cdot sin θ sin (α + β)}{sin β}$ D、 $\frac{l \cdot sin θ sin β}{sin (α + β)}$

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4、已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{3}{4})$ C、 $(0, \frac{5}{4})$ D、 $(0, \frac{5}{4}]$

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5、在△ABC中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ， M是AB的中点，N是CM的中点，则 $\vec{A N} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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6、角 $α$ 的终边过点 $P (- 2, 4)$ ，则 $\cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7、复数 $z = - 3 i (4 - i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、已知点 $M (1, 2)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上，则过点M的圆C的切线方程为．

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若F为 $C C_{1}$ 的中点，判断并证明平面 $A E C$ 和平面 $B F D_{1}$ 的位置关系．

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{29}$ B、与 $\vec{b}$ 方向相反的单位向量是 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{a}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x + 1) - a (x > 0, a \in R), g (x) = f (e^{- x})$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $g (x) + x > \ln 3$ ；

(2)、证明：关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有且仅有一个实根；

(3)、证明： $g (g (t)) = t$ 的充要条件是 $g (t) = t$ ．

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12、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 分别交 $C$ 于A，B两点．当 $l$ 的倾斜角为 $90^{°}$ 时， $| A B | = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、 $E$ 为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与 $C$ 交于点 $P$ ，与直线 $x = 4$ 交于点 $Q$ ．
①若 $O P ⊥ A B$ ，求 $| A B | + | O P |^{2}$ 的最小值；
②若 $E$ 为线段AB的中点，判断并证明 $Q$ 与以AB为直径的圆的位置关系．

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13、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $A P ⊥ P D$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P D - C$ 的正弦值的取值范围．

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14、现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径 $X$ （单位：mm）服从正态分布 $N (10, 1)$ ，乙生产出的零件内径 $Y$ （单位：mm）服从正态分布 $N (8, 4)$ ．

(1)、若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1，0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为 $Z$ ，求 $Z$ 的分布列；

(2)、若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) \approx 0.683, P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) \approx 0.955$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ， $S_{n - 1} + S_{n} + S_{n + 1} = 3 n^{2} + 2 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{3}, a_{4}$ ；

(2)、求 $S_{3 n}$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不为1的等比数列，从 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{20}$ 中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为．

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17、若 $f (x) = x (\ln x + a)$ 在 $[1, e]$ 上不单调，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A C = 4$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的球心为 $O$ ．记四棱锥 $P - A B C D, O - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，三棱锥 $P - A C D, P - A B C$ 的体积分别为 $V_{3}, V_{4}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $A B ⊥ B P$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{1} = 2 V_{3}$ D、若二面角 $P - A B - C$ 的平面角大小为 $45^{°}$ ，则 $V_{4}$ 的最大值为 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$

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19、某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线 $C$ ，记其焦点分别为 $M$ 、 $N$ ，若 $P$ 为其图象上任意一点，则（）

A、 $y$ 轴是 $C$ 的一条渐近线 B、点 $(1, 1)$ 是 $C$ 的一个焦点 C、 $||P M| - |P N|| = 2 \sqrt{2}$ D、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$

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20、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $b > c, \cos B = \frac{\sqrt{6}}{4}, a = \frac{\sqrt{6}}{2} b$ ，则（）

A、 $A = \frac{\sqrt{6}}{2} B$ B、 $A = 2 B$ C、 $b = \sqrt{3} c$ D、 $b = 2 c$

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