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相关试卷

1、过点 $P (a, b)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $P A$ ， $A$ 为切点， $|P A| = 1$ ，则 $a + 3 b$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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2、在椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 中，下列结论正确的是（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等

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3、如图，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，双曲线上的点 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 关于 $y$ 轴对称，则 $|P_{2} F_{1}| - |P_{1} F_{1}|$ 的值是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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4、下列说法正确的是（）

A、平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B、平行的两条直线的倾斜角一定相等 C、垂直的两条直线的斜率之积为 $- 1$ D、只有斜率相等的两条直线才一定平行

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5、下列说法，正确的有（）

A、在斜三角形 $A B C$ 中，恒有 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ B、已知 $sin α + 2 sin β = 2$ ，则 $cos (α + β)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、已知实数 $x, y$ 满足 $ln (4 x + 5 y) - e^{2 x + 3 y} - 2 x - 2 y + 2 \geq 0$ ，则 $x + y = \frac{3}{2}$ . D、已知点 $A, B, M$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，且 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ ，点 $P$ 是直线 $y = x - 2$ 上的动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为1

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6、已知直线 $l : x + 2 y + 5 = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = a^{2} + 6$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、与 $a$ 的取值有关

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $P (\sqrt{3}, 1)$ 在椭圆 $E$ 上，不过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若弦 $M N$ 的中点的纵坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $△ M O N$ 面积的最大值；

(3)、若 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，求证：直线 $l$ 过定点.

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = C A = 2$ ， $P A = 3$ ， $F$ 为 $A P$ 中点， $G$ 为 $C F$ 中点， $E$ 在棱 $P B$ 上，设 $\vec{B E} = λ \vec{B P} (0 \leq λ \leq 1)$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，求证： $G E / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求平面 $P B C$ 与平面 $C F E$ 所成角的余弦值；

(3)、当直线 $G E$ 与平面 $P A B$ 的所成角最大时，求 $λ$ 的值.

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9、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ ，圆 $E : {(x + 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若过点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若圆 $E$ 上存在点 $Q$ ，过点 $Q$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $M$ ，且满足 $|Q M| = \sqrt{2} |O Q|$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a + b = 2 c sin (B + \frac{π}{6})$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $∠ B C A$ 的角平分线交边 $A B$ 于 $D$ ，且 $A B = 3$ ， $C D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、已知直线 $l_{1} : 2 x + y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : x - 2 y = 0$ 相交于点 $A$ .

(1)、若直线 $m$ 经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距为2，求直线 $m$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 关于直线 $l$ 对称，求直线 $l$ 的方程.

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12、已知四边形 $A B C D$ ， $△ A B D$ 是以 $2 \sqrt{2}$ 为边长的等边三角形， $B C = C D = \sqrt{6}$ ，现把 $△ A B D$ 沿着对角线 $B D$ 进行翻折，使得点 $A$ 在面 $B C D$ 上的投影落在点 $C$ 处，则此时三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为.

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13、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上一点， $Q$ 是直线 $l : x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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14、已知向量 $\vec{O A} = (1, - 1, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 2, - 1)$ ，则向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量为.

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 $2$ ， $P$ 、 $Q$ 两点分别在线段 $A C$ 和线段 $B C$ 上运动，则（）

A、 $B D_{1} ⊥ B_{1} P$ B、三棱锥 $A_{1} - C_{1} D_{1} P$ 的体积是定值 $\frac{8}{3}$ C、直线 $B_{1} P$ 与直线 $A_{1} D_{1}$ 所成角的范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $△ B_{1} P Q$ 周长的最小值为 $2 \sqrt{3} + 2$

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16、过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的最大距离为2 B、当直线 $l$ 斜率为1时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ C、弦 $A B$ 中点的轨迹长度为 $2 π$ D、 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为 $[- 9, - 1]$

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17、下列说法正确的是（）

A、数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{8}$ 的方差为4，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{8} + 1$ 的方差为16 C、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D、若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则 $P (A \cup B) = 0.7$

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18、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知点 $P$ 到点 $A (1, 1)$ 的距离和它到直线 $l : x + y - 4 = 0$ 的距离的比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $W$ ，则下列选项中错误的是（）

A、 $W$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、 $W$ 关于直线 $y = - x$ 对称 C、 $|O P|$ 最大值为4 D、 $|O P|$ 最小值为 $\sqrt{2}$

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19、在空间直角坐标系中， $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 2, 0)$ ， $C (0, 0, 3)$ ，向量 $\vec{O M} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ 且 $x + 2 y + 3 z = 1$ ，则 $|\vec{O M}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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20、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|O P| =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$

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