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相关试卷

1、如图，矩形ABCD中， $A B = 1, A D = 3, \vec{A D} = 3 \vec{A E}, \vec{B C} = 3 \vec{F C}$ ．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面 $A^{'} B^{'} F E$ ，并连接 $B^{'} D, B B^{'}$ ．

(1)、若 $B^{'} E ⊥ B E$ ，证明： $B^{'} E ⊥$ 平面BEF；

(2)、若 $M$ 为 $B^{'} D$ 的中点， $G \in B F$ ，直线GE与平面 $B^{'} B E$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（i）试讨论在线段AD上是否存在点 $N$ ，使得 $B B^{'} / /$ 平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由；
（ii）求平面 $B B^{'} E$ 与平面 $B^{'} D F$ 所成锐二面角的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x - 1$ $(a \in R)$ 只有一个公共点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x) \leq \frac{e^{x - 1}}{x} - 2$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 2^{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \geq λ (a_{n} + 2^{n}) + 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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4、为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取 $100$ 人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间 $[7, 9), [9, 11), [11, 13), [13, 15)$ ， $[15, 17), [17, 19]$ ，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第 $80$ 百分位数；

(3)、从全校学生中随机选取 $3$ 人，记 $X$ 表示这 $3$ 人一周参加体育锻炼时间在区间 $[13, 15)$ 内的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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5、 $(x + 2 y) {(2 x + y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为．

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6、已知 $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若 $f (e^{2}) + f (e^{4}) = 6$ ，则 $a =$ ．

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7、甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（）

A、“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 $\frac{1}{2}$ B、“在甲掷出 $6$ 点后，乙下一次掷骰子掷出 $6$ 点”的概率为 $\frac{1}{6}$ C、“首次连续 $2$ 次出现 $6$ 点时需掷骰子的次数”的期望为 $36$ D、“甲先掷出 $6$ 点”的概率为 $\frac{6}{11}$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $y = x$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，若椭圆上存在异于 $A, B$ 两点的点 $P$ 使得 $k_{P A} \cdot k_{P B} \in (- \frac{1}{3}, 0)$ ，则离心率 $e$ 的值可以为（）

A、0.8 B、0.85 C、0.9 D、0.95

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9、双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数 $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 、双曲正弦函数 $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 、双曲正切函数 $\tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ ，则（）

A、 $y = \cosh (x)$ 是偶函数 B、 $y = \sinh (x)$ 是奇函数 C、 $y = \tanh (x)$ 是偶函数 D、 $y = \cosh (\sinh (x))$ 是奇函数

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10、对任意 $a, b \in R$ ，都存在 $x_{0} \in [2025, 2027]$ ，使得 $|x_{0}^{2} - \sqrt{2025} a x_{0} + b| \geq k$ 成立，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty, 2025]$ D、 $(- \infty, \sqrt{2025}]$

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11、在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{2}{3} π, ∠ A C B$ 的平分线交AB于 $D$ 点，且 $S_{△ B C D} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ ，则 $\cos A$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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12、已知直线 $l : (3 a + 2) x - a y - 2 = 0$ （其中 $a$ 为常数），圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} + 2 y - 23 = 0$ ，则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最小值为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{21}$

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13、已知圆锥的底面周长为 $2 π$ ，侧面积为 $4 π$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{1}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3} π$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 1, t)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\pm 3$ D、 $- 3$

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15、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{3} - \sin \frac{2 π}{3} i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

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16、函数 $f (x) = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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17、已知集合 $A = \{x| x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、[1，2] B、[1，3] C、[0，2] D、[0，3]

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18、已知 $N (N \geq 3)$ 项数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ ，对于给定 $i (i = 1, 2, \dots, N)$ ，定义变换 $f_{i}$ ：将数列 $A$ 中的项 $a_{i}$ 替换为 $t$ ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 $f_{i} (A)$ ．其中，当 $i = 1$ 时， $t = \frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ ；当 $2 \leq i \leq N - 1$ 时， $t = \frac{a_{i - 1} + a_{i} + a_{i + 1}}{3}$ ；当 $i = N$ 时， $t = \frac{a_{N - 1} + a_{N}}{2}$ ．若将数列 $f_{i} (A)$ 再进行上述变换 $f_{j} (j = 1, 2, \dots, N)$ ，记得到的新数列为 $f_{j} f_{i} (A), \dots$ ，重复操作，得到数列 $f_{k} \dots f_{j} f_{i} (A) (k = 1, 2, \dots, N)$ ，并称 $f_{i}$ 为第一次 $f$ 变换， $f_{j}$ 为第二次 $f$ 变换，⋯．

(1)、若数列 $A$ ： $1, - 1, 3, - 4$ ，求数列 $f_{2} (A)$ 和 $f_{1} f_{2} f_{2} (A)$ ；

(2)、设 $A$ 为递增数列，对 $A$ 进行有限次 $f$ 变换后得到数列 $B$ ．证明： $B$ 为递增数列；

(3)、当第 $m (m \in N^{*})$ 次 $f$ 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 $ω_{m} = 1$ ；否则 $ω_{m} = 0$ ．对于给定的 $N$ 项数列 $A$ ，进行2025次 $f$ 变换，证明： $ω_{1} + ω_{2} + \dots + ω_{2025} \leq N - 1$ ．

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19、已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值．

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $x + \sqrt{2} y + 2 \sqrt{2} = 0$ 经过椭圆 $E$ 的左顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程和离心率；

(2)、设过点 $G (0, s) (s > 0)$ 且斜率不为0的直线交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，直线 $B C, B D$ 与直线 $y = t$ 的交点分别为 $P, Q$ ，线段 $C D, P Q$ 的中点分别为 $M, N$ ．若直线 $M N$ 经过坐标原点，求 $s + t$ 的取值范围．

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