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相关试卷

1、复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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2、已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \cos 2$ ， $c = 8^{- \frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = 0$ ，若对于任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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4、数列 $- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5} \dots \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $\frac{1}{n}$ B、 $- \frac{1}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$

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5、若 $e^{x} + x - 1 \geq 2 a x + ln (2 a x + 1)$ 恒成立，则实数 $a =$ ．

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6、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且不等式 $f (x) > f^{'} (x)$ 对任意 $x \in R$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是“超导函数”.

(1)、判断 $f (x) = e^{x} + 1$ 是否为“超导函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 与 $y = h (x)$ 都是“超导函数”，且对任意 $x \in R$ ，都有 $h^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，记 $F (x) = g (x) h (x)$ ，求证：函数 $y = F (x)$ 是“超导函数”；

(3)、已知函数 $y = φ (x)$ 是“超导函数”且 $φ (1) = e$ ，若有且仅有一个实数 $t$ 满足 $φ (ln t + 1 - a t) = e^{ln t + 1 - a t}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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7、某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（）

A、从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件 B、若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法 C、若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起，且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法 D、若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案

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8、已知 ${(a \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（）

A、 $n = 9$ B、含 $x^{3}$ 项的系数为 $- 8$ 或 $8$ C、展开式的所有项的系数和为 $- 1$ 或0 D、二项式系数和为256

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9、设 $a = \ln (1.2 e)$ ， $b = e^{0.2}$ ， $c = 1.2$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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10、为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（）

A、 $\frac{5}{21}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{25}{42}$

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11、随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
交易额y
9
12
17
21
26

(1)、统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若 $r \in [- 1, - 0.75]$ ，则负相关性很强；若 $r \in [0.75, 1]$ ，则正相关性很强；若 $r \in (- 0.75, - 0.30] \cup [0.30, 0.75)$ ，则相关性一般；若 $r \in (- 0.3, 0.3)$ ，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.

(2)、求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 43$ ； $\sqrt{465} \approx 21.6$
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 上的值域．

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13、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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14、若 $\forall x \in (1, + \infty)$ ，不等式 $e^{x + \ln a} + \ln a + 1 \geq \ln (x - 1)$ 恒成立（其中 $e$ 是自然对数的底数），则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $e^{- 2}$ B、 $e^{- 1}$ C、 $e$ D、 $e^{2}$

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 6$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2} + 3$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球， $A$ 表示事件“两次取出的球颜色相同”， $B$ 表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + 1$ ，则 $a_{1} + a_{4} =$ （）

A、16 B、17 C、20 D、21

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{a sin A - c sin C}{b - c} = sin B$ ， $(b \neq c)$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2 c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19、如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B）， $D C ⊥ B C$ ， $D C = B C$ ， $|A B| = 2$ ， $|\vec{C A} - \vec{B C}| =$ ； $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的最大值为．

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20、已知 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos^{2} (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) =$ ．

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码x	1	2	3	4	5
交易额y	9	12	17	21	26