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相关试卷

1、设 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与点 $P$ 、 $Q$ 任一点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ ；若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ $.$ 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上.

(1)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算，求 $(B, C; D)$ 的值；

(2)、若 $A = 60^{\circ}$ ， $a = 4$ ， $A B ⊥ A D$ ，由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = - 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A = 120^{\circ}$ ， $A D = 4$ $，$ 由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = \frac{c}{b}$ $，$ 求 $b + 4 c$ 的最小值.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $\frac{3 b sin C}{sin B + sin C - sin A}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{21}$ ， $b = 4$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，且交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ ．

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3、已知过球面上 $A, B, C$ 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的体积是.

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4、已知复数 $z = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2025}$ ，则 $\bar{z} =$ ．

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (t + 2, 3 - t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ .

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6、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ B、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ C、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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7、（多选题）下列四个命题中，真命题是（）

A、若 $a, b$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，且 $a \subset α, b \subset β$ ，则 $a, b$ 是异面直线. B、两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. C、若直线 $m, n$ 相交， $α$ 是平面且 $m / / α$ ，则直线 $n$ 不在平面 $α$ 内. D、若 $α$ 是平面，直线 $l_{1} \subset α$ ，直线 $l_{2} / / α$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ .

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8、若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知 $z = \frac{a}{1 - 2 i} + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）为“理想复数”，则

A、 $a - 5 b = 0$ B、 $3 a - 5 b = 0$ C、 $3 a + 5 b = 0$ D、 $a + 5 b = 0$

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9、已知 $△ A B C$ ，内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a, b, c, a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}, B = 60 °$ ，则 $A$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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10、下列正确的是（）

A、过球面上两点与球心有且只有一个平面 B、用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D、有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

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11、已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中 $A B = A C = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12、圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（）

A、4 B、6 C、 $6 π$ D、 $4 π$

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13、复数 $\frac{1 - i}{1 + i} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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14、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 b x + 8 .$

(1)、当 $b = 3$ 时，当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $y$ 的最大值和最小值；

(2)、若 $b$ 为任意实数，当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $y$ 的最小值.

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15、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2024 = 0$ 的两个根，试求下列各式的值：

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(3)、 $| x_{1} - x_{2} |$ .

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16、解关于x 的不等式 $(x - 1) (x + 2) (x - 3) > 0$ .

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17、把式子 $x^{2} + x y - 6 y^{2}$ 因式分解的结果是.

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18、若不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\}$ ，则 $a - b$ 值是（）

A、-10 B、-14 C、10 D、14

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19、设集合 $A$ $= \{3, 5, 6, 8\}$ ，集合 $B$ $= \{4, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cap B$ 等于

A、 $\{5, 8\}$ B、 $\{3,, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{3, 5, 6, 8\}$

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20、设曲线 $C : x^{3} - x y - y^{3} = 1$ ．

(1)、求证： $C$ 关于直线 $y = - x$ 对称；

(2)、求证： $C$ 是某个函数的图象；

(3)、试求所有实数 $k$ 与 $m$ ，使得直线 $y = k x + m$ 在 $C$ 的上方．

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