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相关试卷

1、如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面ABCD， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 2 A B = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE；

(3)、当 $D E = 2$ 时，求二面角 $B - C F - E$ 的正弦值．

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2、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ．

(1)、解方程 $f (x) = \frac{10}{3}$ ；

(2)、若 $f (3 x) - m f (x) \geq 0$ 恒成立，求m的取值范围．

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{A D}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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4、已知复数 $z = 1 + b i$ （ $b \in R$ ， i为虚数单位）， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数.

(1)、求复数z；

(2)、若复数 $z_{1} = 2 z - 1$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的根，求实数m和n的值.

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5、已知向量 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $(2 \vec{a}) \cdot (3 \vec{b}) =$ ．

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6、如图，若斜边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等腰直角 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （ $B^{'}$ 与 $O^{'}$ 重合）是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，则 $△ A B C$ 的面积为．

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7、如图1，矩形 $A B C D$ ，已知 $A B = 2, A D = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 中点，现将 $△ A E D$ 沿 $A E$ 翻折后得到如图2的四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ，点 $F$ 是线段 $D^{'} B$ 上（不含端点）的动点，则下列正确的是（）

A、当 $F$ 为线段 $D^{'} B$ 中点时， $C F //$ 平面 $A D^{'} E$ B、当 $F$ 为线段 $D^{'} B$ 中点时，过点 $A, E, F$ 的截面交 $C D^{'}$ 于点 $M$ ，则 $2 C M = D^{'} M$ C、在翻折过程中，存在一个位置使得 $A E ⊥ C D^{'}$ D、当 $A D^{'} ⊥ B D^{'}$ 时， $A F + C F$ 的最小值为 $\sqrt{4 + \frac{\sqrt{33}}{3}}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 4, b = 10, A = \frac{π}{4}$ ，则满足条件的三角形有两个 B、若 $tan A + tan B + tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C$ D、若 $a = 3, b = 2 c$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为3

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9、如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则 $∠ O A E + ∠ O B E + ∠ O C E + ∠ O D E =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、已知平面 $α, β$ ，直线 $l \subset α$ ，直线 $m ⊄ α$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $α / / β, m ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $α / / β, l / / m$ ，则 $m / / β$ C、若 $α ⊥ β, m / / β$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ m, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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11、最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度 $=$ 器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位 $cm$ ），则平地降雪厚度的近似值为（）

A、 $\frac{91}{12} cm$ B、 $\frac{31}{4} cm$ C、 $\frac{95}{12} cm$ D、 $\frac{97}{12} cm$

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12、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $4 \vec{A D} - 3 \vec{A B}$ B、 $3 \vec{A D} - 4 \vec{A B}$ C、 $3 \vec{A D} - 2 \vec{A B}$ D、 $2 \vec{A D} - 3 \vec{A B}$

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13、已知复数 $(1 - i) z = 2$ （i为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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14、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 1, 2, 3\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 3\}$ B、 $\{- 3, 1\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\{- 3\}$

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15、某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.

(1)、若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；

(2)、求 $a_{n}$ 及其最大值；

(3)、已知 $x_{n} = |5 a_{n} - 1| \cdot 2^{n - 1}$ ， $y_{n} = 2 + 4 + \dots + 2 n$ ， $z_{n} = \{\begin{array}{l} \sqrt{2}, (n = 1), \\ \sqrt{y_{n}} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}) + (\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} + \dots + \sqrt{y_{n}}) x_{n}, (n \geq 2) . \end{array}$
若数列 $\{z_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < n (n + 2)$ .

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16、小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $I$ 上的连续函数，若 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间 $I$ 上的下凸函数．例如，函数 $y = x^{3}$ 在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{n} \in [a, b]$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）．

(1)、已知 $g (x) = x^{3}$ 在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数，若 $a^{3} + b^{3} = 6 (a > 0, b > 0)$ ，求 $a + b$ 的最大值；

(2)、判断函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 在 $R$ 上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由；

(3)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 1$ ，求 $W = \frac{- x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{- 2 x_{2}}{1 + x_{2}} + \frac{- 3 x_{3}}{1 + x_{3}} + \frac{- 4 x_{4}}{1 + x_{4}}$ 的最小值．

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17、人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．

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18、科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 $v = \frac{1}{2} \log_{3} \frac{x}{100} - \lg x_{0}$ ，单位是 $km/min$ ，其中 $x$ 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数， $x_{0}$ 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（ $\lg 2 = 0.30$ ）

(1)、若 $x_{0} = 4$ ，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少 $km/min$ ？

(2)、若雄性候鸟的飞行速度为 $2.5$ $km/min$ ，雌性候鸟的飞行速度为 $1.5$ $km/min$ ，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？

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19、设函数 $f (x) = x^{2} - (k^{2} - 7 a k + 3) x + 7$ ，已知对任意 $k \in [0, 2]$ ，若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} \in [k, k + 2 a]$ ， $x_{2} \in$ $[k + 3 a, k + 5 a]$ ，则 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ，则正实数 $a$ 的最大值为．

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20、甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为.

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