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相关试卷

1、如图所示，已知角 $α$ ， $β$ （ $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ）的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2}, \sin \frac{α + β}{2})$ ，记 $f (α, β) = |\vec{O M}| + \cos (β - α) -$ $\frac{\sin α + \sin β}{\cos \frac{β - α}{2}}$ ，则（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ B、若 $|\vec{O A} + \vec{O B}| = \sqrt{3}$ ，则 $∠ O A B = \frac{π}{3}$ C、点M的坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2}, \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2})$ D、若 $f (α, β) = 0$ ，则 $α + β = \frac{π}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = {cos}^{4} x - {sin}^{4} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(k π + \frac{π}{2}, 0), (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 的对称轴为直线 $x = \frac{k π}{2}, (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{2}, k π], (k \in Z)$

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3、（多选）下列说法正确的是（）

A、零向量是没有方向的向量 B、零向量的长度为0 C、相等向量的方向相同 D、同向的两个向量可以比较大小

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = f (2 x + \frac{1}{2})$ B、 $y = f (2 x + 1)$ C、 $y = f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ D、 $y = f (\frac{x}{2} + 1)$

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5、已知 $θ$ 是第一象限角，且 $\sin (θ - \frac{π}{7}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (θ + \frac{5 π}{14}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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6、在梯形 $A B C D$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ，若 $\vec{A B} = - 2 \vec{C D}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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7、已知扇形的半径为 $2$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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8、向量 $\vec{A B} + (\vec{O M} + \vec{B O}) + \vec{M B} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{A M}$

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9、“ $α = β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、 $\frac{4 π}{3}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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11、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N_{+})$ ．

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x)$ ， $f_{4} (x)$ ， $f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k$ ， $k \in N_{+}$ 时， $f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需要写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+}$ ，使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a (sin x + cos x) - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 9^{x} + 9^{- x} + m \cdot 3^{f (x)} - 1$ ， $x \in [0, {log}_{3} 2]$ 是否存在实数m使得 $g (x)$ 的最小值为0，若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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13、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 x) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x + a$ 的最大值为 $3 .$

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, π]$ 的单调递增区间；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, m)$ 上有9个零点，求实数m的取值范围.

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14、计算：

(1)、已知 $2^{a} = 3$ ， ${log}_{4} 3 = b$ ，求 $2^{a - 2 b}$ 的值；

(2)、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $sin (\frac{7 π}{6} + 2 α)$ 的值；

(3)、若正实数 $x, y, z$ 同时满足下列三个方程 ${log}_{2} (\frac{x}{y z}) = \frac{1}{2}$ ， ${log}_{2} (\frac{y}{x z}) = \frac{1}{3}$ ， ${log}_{2} (\frac{z}{x y}) = \frac{1}{4}$ ，求 ${log}_{2} (x^{2} y z)$ 的值.

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 所在直线上的点，且满足 $\vec{B M} = k \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = m \vec{C D}$ ，其中k， $m \in (- 1, 1)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A D}$ .

(1)、当 $k = \frac{1}{2}$ ， $m = \frac{1}{3}$ 时，用向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ ；

(2)、当 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $k = m$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围.

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P, Q$ 分别为边 $A B, D A$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值为．

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足： $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (8) = 5$ ，则 $f (2025) =$ .

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18、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，则a的取值范围为.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{|sin x|} + \frac{1}{|cos x|}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x|} + 1, x < 1 \\ x^{2} - 4 x + 6, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = m$ 有四个不等的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 有最小值2 B、m的取值范围是 $2 < m \leq 3$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4$ D、方程 $f (f (x)) = \frac{5}{2}$ 有4个不同的解

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