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相关试卷

1、已知 $α, β$ 都是锐角， $\cos α = \frac{3}{5}, \cos (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos β$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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2、若不等式 $e^{x} \geq k x$ （ $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $e^{2}$

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为60°， $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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4、已知集合 $A = \{x | \sin x = 0\}$ ， $B = \{x | \log_{2} x < 2\}$ ，则集合 $A \cap B =$

A、 $\{0\}$ B、 $\{π\}$ C、 $\{0, π\}$ D、 $\{\frac{π}{2}\}$

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5、设函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的一个零点为 $x = - \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的最大值为1

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6、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $B C D$

(2)、求二面角 $A - D C - B$ 的余弦值；

(3)、在线段 $A F$ 上是否存在点 $M$ 使得 $E M //$ 平面 $A D C$ ?若存在，求 $\frac{A M}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 5 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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8、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{cases}$ ，若 $f (a) = f (b), a < b$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, \sqrt{5} - 3]$ B、 $(- 4, - 1]$ C、 $(- 4, 1 - \sqrt{5}]$ D、 $(- 4, 3 + \sqrt{5}]$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 1)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $\{1\}$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 1, 3)$

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11、如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $3 k_{1} = 2 k_{2}$ ，则椭圆的离心率为．

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12、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 3, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, - m, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上具有单调性，则实数a的取值范围是.

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB⊥AC， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，点E，F分别为棱AB、 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求直线 $C_{1} E$ 与直线AF的夹角的余弦值；

(2)、求点F到平面 $B_{1} C_{1} E$ 的距离．

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15、已知数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - n, n \in N$ .
(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)若 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} + 3, b_{1} = 3, b_{6} = 13$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小.

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ .
（i）求 $c$ 的值.
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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18、设全集 $U = R$ ，已知集合 $M = \{x | x \geq 1\}$ ， $N = {x | - 1 < x < 2}$ .求 $M \cap N$ 和 $∁_{U} M \cup N$ .

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19、若 $tan (α - β) = \frac{1}{3}$ ， $tan β = 1$ ，则 $tan α =$

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20、若二项式 ${(x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为20，则 $a =$ ．

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